Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59907 / 30405
↖ ↑ ↗
← N 68.969236°
W 15.460510°		 ← 109.61 m → N 68.969236°
W 15.457764°		 →
↑
109.64 m
↓
↑
109.64 m
↓
N 68.968250°
W 15.460510°		 ← 109.61 m →
12 018 m²		 N 68.968250°
W 15.457764°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457057952880859 y=0.231975555419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457057952880859 × 217)
    floor (0.457057952880859 × 131072)
    floor (59907.5)     		tx = 59907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231975555419922 × 217)
    floor (0.231975555419922 × 131072)
    floor (30405.5)     		ty = 30405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59907 / 30405 ti = "17/59907/30405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59907/30405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59907 ÷ 217
    59907 ÷ 131072     		x = 0.457054138183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30405 ÷ 217
    30405 ÷ 131072     		y = 0.231971740722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457054138183594 × 2 - 1) × π
    -0.0858917236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26983681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231971740722656 × 2 - 1) × π
    0.536056518554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.68407122055219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26983681} λ = -0.26983681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68407122055219))-π/2
    2×atan(5.38744485987871)-π/2
    2×1.38726828718055-π/2
    2.77453657436109-1.57079632675     		φ = 1.20374025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26983681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.460510°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20374025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.969236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59907 KachelY 30405 -0.26983681 1.20374025 -15.460510 68.969236
    Oben rechts KachelX + 1 59908 KachelY 30405 -0.26978887 1.20374025 -15.457764 68.969236
    Unten links KachelX 59907 KachelY + 1 30406 -0.26983681 1.20372304 -15.460510 68.968250
    Unten rechts KachelX + 1 59908 KachelY + 1 30406 -0.26978887 1.20372304 -15.457764 68.968250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20374025-1.20372304) × R
    1.72099999999897e-05 × 6371000     		dl = 109.644909999935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20374025-1.20372304) × R
    1.72099999999897e-05 × 6371000     		dr = 109.644909999935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26983681--0.26978887) × cos(1.20374025) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358869168819875 × 6371000     		do = 109.607881449923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26983681--0.26978887) × cos(1.20372304) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358885232372006 × 6371000     		du = 109.61278767222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20374025)-sin(1.20372304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358869168819875-0.358885232372006)×R²
    abs(-0.26978887--0.26983681)×1.60635521313512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60635521313512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60635521313512e-05×40589641000000     		ar = 12018.2152682217m²