Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59904 / 59017
↖ ↑ ↗
← S 80.768549°
E149.062500°		 ← 97.98 m → S 80.768549°
E149.067993°		 →
↑
97.99 m
↓
↑
97.99 m
↓
S 80.769430°
E149.062500°		 ← 97.98 m →
9 601 m²		 S 80.769430°
E149.067993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914070129394531 y=0.900535583496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914070129394531 × 216)
    floor (0.914070129394531 × 65536)
    floor (59904.5)     		tx = 59904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900535583496094 × 216)
    floor (0.900535583496094 × 65536)
    floor (59017.5)     		ty = 59017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59904 / 59017 ti = "16/59904/59017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59904/59017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59904 ÷ 216
    59904 ÷ 65536     		x = 0.9140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59017 ÷ 216
    59017 ÷ 65536     		y = 0.900527954101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9140625 × 2 - 1) × π
    0.828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60163142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900527954101562 × 2 - 1) × π
    -0.801055908203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51659135625371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60163142} λ = 2.60163142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51659135625371))-π/2
    2×atan(0.0807343328405944)-π/2
    2×0.0805596059900171-π/2
    0.161119211980034-1.57079632675     		φ = -1.40967711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60163142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40967711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.768549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59904 KachelY 59017 2.60163142 -1.40967711 149.062500 -80.768549
    Oben rechts KachelX + 1 59905 KachelY 59017 2.60172729 -1.40967711 149.067993 -80.768549
    Unten links KachelX 59904 KachelY + 1 59018 2.60163142 -1.40969249 149.062500 -80.769430
    Unten rechts KachelX + 1 59905 KachelY + 1 59018 2.60172729 -1.40969249 149.067993 -80.769430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40967711--1.40969249) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dl = 97.9859800000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40967711--1.40969249) × R
    1.53800000000093e-05 × 6371000     		dr = 97.9859800000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60163142-2.60172729) × cos(-1.40967711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160423027954835 × 6371000     		do = 97.9844235011795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60163142-2.60172729) × cos(-1.40969249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160407847132186 × 6371000     		du = 97.9751512403666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40967711)-sin(-1.40969249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160423027954835-0.160407847132186)×R²
    abs(2.60172729-2.60163142)×1.51808226494798e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51808226494798e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51808226494798e-05×40589641000000     		ar = 9600.64548573003m²