Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59904 / 55772
↖ ↑ ↗
← N 25.888879°
W 15.468750°		 ← 274.77 m → N 25.888879°
W 15.466003°		 →
↑
274.78 m
↓
↑
274.78 m
↓
N 25.886407°
W 15.468750°		 ← 274.78 m →
75 504 m²		 N 25.886407°
W 15.466003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457035064697266 y=0.425510406494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457035064697266 × 217)
    floor (0.457035064697266 × 131072)
    floor (59904.5)     		tx = 59904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425510406494141 × 217)
    floor (0.425510406494141 × 131072)
    floor (55772.5)     		ty = 55772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59904 / 55772 ti = "17/59904/55772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59904/55772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59904 ÷ 217
    59904 ÷ 131072     		x = 0.45703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55772 ÷ 217
    55772 ÷ 131072     		y = 0.425506591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45703125 × 2 - 1) × π
    -0.0859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26998062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.425506591796875 × 2 - 1) × π
    0.14898681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.468055887890228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26998062} λ = -0.26998062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.468055887890228))-π/2
    2×atan(1.59688664681882)-π/2
    2×1.01132124884501-π/2
    2.02264249769002-1.57079632675     		φ = 0.45184617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26998062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.468750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45184617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.888879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59904 KachelY 55772 -0.26998062 0.45184617 -15.468750 25.888879
    Oben rechts KachelX + 1 59905 KachelY 55772 -0.26993268 0.45184617 -15.466003 25.888879
    Unten links KachelX 59904 KachelY + 1 55773 -0.26998062 0.45180304 -15.468750 25.886407
    Unten rechts KachelX + 1 59905 KachelY + 1 55773 -0.26993268 0.45180304 -15.466003 25.886407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45184617-0.45180304) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dl = 274.781230000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45184617-0.45180304) × R
    4.31300000000023e-05 × 6371000     		dr = 274.781230000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26998062--0.26993268) × cos(0.45184617) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899642547972574 × 6371000     		do = 274.773990950147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26998062--0.26993268) × cos(0.45180304) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.899661378865669 × 6371000     		du = 274.779742389605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45184617)-sin(0.45180304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.899642547972574-0.899661378865669)×R²
    abs(-0.26993268--0.26998062)×1.88308930947345e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.88308930947345e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.88308930947345e-05×40589641000000     		ar = 75503.5254107646m²