Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59900 / 59060
↖ ↑ ↗
← S 80.806365°
E149.040527°		 ← 97.59 m → S 80.806365°
E149.046020°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
S 80.807242°
E149.040527°		 ← 97.58 m →
9 518 m²		 S 80.807242°
E149.046020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914009094238281 y=0.901191711425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914009094238281 × 216)
    floor (0.914009094238281 × 65536)
    floor (59900.5)     		tx = 59900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901191711425781 × 216)
    floor (0.901191711425781 × 65536)
    floor (59060.5)     		ty = 59060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59900 / 59060 ti = "16/59900/59060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59900/59060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59900 ÷ 216
    59900 ÷ 65536     		x = 0.91400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59060 ÷ 216
    59060 ÷ 65536     		y = 0.90118408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91400146484375 × 2 - 1) × π
    0.8280029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60124792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90118408203125 × 2 - 1) × π
    -0.8023681640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52071392962103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60124792} λ = 2.60124792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52071392962103))-π/2
    2×atan(0.0804021847530484)-π/2
    2×0.0802296000545825-π/2
    0.160459200109165-1.57079632675     		φ = -1.41033713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60124792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.040527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41033713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.806365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59900 KachelY 59060 2.60124792 -1.41033713 149.040527 -80.806365
    Oben rechts KachelX + 1 59901 KachelY 59060 2.60134379 -1.41033713 149.046020 -80.806365
    Unten links KachelX 59900 KachelY + 1 59061 2.60124792 -1.41035244 149.040527 -80.807242
    Unten rechts KachelX + 1 59901 KachelY + 1 59061 2.60134379 -1.41035244 149.046020 -80.807242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41033713--1.41035244) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41033713--1.41035244) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60124792-2.60134379) × cos(-1.41033713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159771521405621 × 6371000     		do = 97.5864912688446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60124792-2.60134379) × cos(-1.41035244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159756408058837 × 6371000     		du = 97.5772602214652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41033713)-sin(-1.41035244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159771521405621-0.159756408058837)×R²
    abs(2.60134379-2.60124792)×1.5113346784057e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5113346784057e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5113346784057e-05×40589641000000     		ar = 9518.13713603533m²