Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59900 / 59020
↖ ↑ ↗
← S 80.771193°
E149.040527°		 ← 97.96 m → S 80.771193°
E149.046020°		 →
↑
97.92 m
↓
↑
97.92 m
↓
S 80.772073°
E149.040527°		 ← 97.95 m →
9 592 m²		 S 80.772073°
E149.046020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914009094238281 y=0.900581359863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914009094238281 × 216)
    floor (0.914009094238281 × 65536)
    floor (59900.5)     		tx = 59900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900581359863281 × 216)
    floor (0.900581359863281 × 65536)
    floor (59020.5)     		ty = 59020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59900 / 59020 ti = "16/59900/59020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59900/59020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59900 ÷ 216
    59900 ÷ 65536     		x = 0.91400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59020 ÷ 216
    59020 ÷ 65536     		y = 0.90057373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91400146484375 × 2 - 1) × π
    0.8280029296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60124792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90057373046875 × 2 - 1) × π
    -0.8011474609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51687897765143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60124792} λ = 2.60124792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51687897765143))-π/2
    2×atan(0.0807111152580356)-π/2
    2×0.080536538717456-π/2
    0.161073077434912-1.57079632675     		φ = -1.40972325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60124792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.040527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40972325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.771193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59900 KachelY 59020 2.60124792 -1.40972325 149.040527 -80.771193
    Oben rechts KachelX + 1 59901 KachelY 59020 2.60134379 -1.40972325 149.046020 -80.771193
    Unten links KachelX 59900 KachelY + 1 59021 2.60124792 -1.40973862 149.040527 -80.772073
    Unten rechts KachelX + 1 59901 KachelY + 1 59021 2.60134379 -1.40973862 149.046020 -80.772073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40972325--1.40973862) × R
    1.5369999999848e-05 × 6371000     		dl = 97.9222699990316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40972325--1.40973862) × R
    1.5369999999848e-05 × 6371000     		dr = 97.9222699990316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60124792-2.60134379) × cos(-1.40972325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16037748537306 × 6371000     		do = 97.9566066492167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60124792-2.60134379) × cos(-1.40973862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160362314307173 × 6371000     		du = 97.9473403477151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40972325)-sin(-1.40973862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16037748537306-0.160362314307173)×R²
    abs(2.60134379-2.60124792)×1.51710658870541e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51710658870541e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51710658870541e-05×40589641000000     		ar = 9591.67959616512m²