Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59900 / 27284
↖ ↑ ↗
← N 71.839115°
W 15.479737°		 ← 95.20 m → N 71.839115°
W 15.476990°		 →
↑
95.18 m
↓
↑
95.18 m
↓
N 71.838259°
W 15.479737°		 ← 95.20 m →
9 061 m²		 N 71.838259°
W 15.476990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457004547119141 y=0.208164215087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457004547119141 × 217)
    floor (0.457004547119141 × 131072)
    floor (59900.5)     		tx = 59900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208164215087891 × 217)
    floor (0.208164215087891 × 131072)
    floor (27284.5)     		ty = 27284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59900 / 27284 ti = "17/59900/27284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59900/27284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59900 ÷ 217
    59900 ÷ 131072     		x = 0.457000732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27284 ÷ 217
    27284 ÷ 131072     		y = 0.208160400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457000732421875 × 2 - 1) × π
    -0.08599853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27017237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208160400390625 × 2 - 1) × π
    0.58367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83368228426639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27017237} λ = -0.27017237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83368228426639))-π/2
    2×atan(6.2568839165211)-π/2
    2×1.41231270970086-π/2
    2.82462541940172-1.57079632675     		φ = 1.25382909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27017237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.479737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25382909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.839115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59900 KachelY 27284 -0.27017237 1.25382909 -15.479737 71.839115
    Oben rechts KachelX + 1 59901 KachelY 27284 -0.27012443 1.25382909 -15.476990 71.839115
    Unten links KachelX 59900 KachelY + 1 27285 -0.27017237 1.25381415 -15.479737 71.838259
    Unten rechts KachelX + 1 59901 KachelY + 1 27285 -0.27012443 1.25381415 -15.476990 71.838259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25382909-1.25381415) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dl = 95.1827400001199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25382909-1.25381415) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dr = 95.1827400001199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27017237--0.27012443) × cos(1.25382909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.311686312144345 × 6371000     		do = 95.1970225344952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27017237--0.27012443) × cos(1.25381415) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.311700507874314 × 6371000     		du = 95.2013582758257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25382909)-sin(1.25381415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311686312144345-0.311700507874314)×R²
    abs(-0.27012443--0.27017237)×1.41957299684692e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.41957299684692e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.41957299684692e-05×40589641000000     		ar = 9061.31978873174m²