Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5990 / 6998
↖ ↑ ↗
← N 25.363882°
W 48.383789°		 ← 2 207.70 m → N 25.363882°
W 48.361816°		 →
↑
2 207.93 m
↓
↑
2 207.93 m
↓
N 25.344026°
W 48.383789°		 ← 2 208.06 m →
4 874 861 m²		 N 25.344026°
W 48.361816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365631103515625 y=0.427154541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365631103515625 × 214)
    floor (0.365631103515625 × 16384)
    floor (5990.5)     		tx = 5990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427154541015625 × 214)
    floor (0.427154541015625 × 16384)
    floor (6998.5)     		ty = 6998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5990 / 6998 ti = "14/5990/6998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5990/6998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5990 ÷ 214
    5990 ÷ 16384     		x = 0.3656005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6998 ÷ 214
    6998 ÷ 16384     		y = 0.4271240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3656005859375 × 2 - 1) × π
    -0.268798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84445642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4271240234375 × 2 - 1) × π
    0.145751953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.457893265170776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84445642} λ = -0.84445642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457893265170776))-π/2
    2×atan(1.58074027401375)-π/2
    2×1.00673979176531-π/2
    2.01347958353061-1.57079632675     		φ = 0.44268326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84445642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.383789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44268326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.363882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5990 KachelY 6998 -0.84445642 0.44268326 -48.383789 25.363882
    Oben rechts KachelX + 1 5991 KachelY 6998 -0.84407293 0.44268326 -48.361816 25.363882
    Unten links KachelX 5990 KachelY + 1 6999 -0.84445642 0.44233670 -48.383789 25.344026
    Unten rechts KachelX + 1 5991 KachelY + 1 6999 -0.84407293 0.44233670 -48.361816 25.344026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44268326-0.44233670) × R
    0.000346559999999996 × 6371000     		dl = 2207.93375999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44268326-0.44233670) × R
    0.000346559999999996 × 6371000     		dr = 2207.93375999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84445642--0.84407293) × cos(0.44268326) × R
    0.000383489999999931 × 0.903605501210735 × 6371000     		do = 2207.70232488303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84445642--0.84407293) × cos(0.44233670) × R
    0.000383489999999931 × 0.903753901331274 × 6371000     		du = 2208.06489825237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44268326)-sin(0.44233670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903605501210735-0.903753901331274)×R²
    abs(-0.84407293--0.84445642)×0.000148400120539183×R²
    0.000383489999999931×0.000148400120539183×6371000²
    0.000383489999999931×0.000148400120539183×40589641000000     		ar = 4874860.81292165m²