Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 599 / 199
↖ ↑ ↗
← N 83.287985°
W127.353516°		 ← 1 142.26 m → N 83.287985°
W127.265625°		 →
↑
1 143.08 m
↓
↑
1 143.08 m
↓
N 83.277705°
W127.353516°		 ← 1 144 m →
1 306 692 m²		 N 83.277705°
W127.265625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 199 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1463623046875 y=0.0487060546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1463623046875 × 212)
    floor (0.1463623046875 × 4096)
    floor (599.5)     		tx = 599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0487060546875 × 212)
    floor (0.0487060546875 × 4096)
    floor (199.5)     		ty = 199
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 599 / 199 ti = "12/599/199"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/599/199.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 599 ÷ 212
    599 ÷ 4096     		x = 0.146240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 199 ÷ 212
    199 ÷ 4096     		y = 0.048583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146240234375 × 2 - 1) × π
    -0.70751953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.22273816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.048583984375 × 2 - 1) × π
    0.90283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.83633047671948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22273816} λ = -2.22273816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.83633047671948))-π/2
    2×atan(17.0530739315438)-π/2
    2×1.51222295000287-π/2
    3.02444590000575-1.57079632675     		φ = 1.45364957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22273816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.353516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45364957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.287985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 599 KachelY 199 -2.22273816 1.45364957 -127.353516 83.287985
    Oben rechts KachelX + 1 600 KachelY 199 -2.22120418 1.45364957 -127.265625 83.287985
    Unten links KachelX 599 KachelY + 1 200 -2.22273816 1.45347015 -127.353516 83.277705
    Unten rechts KachelX + 1 600 KachelY + 1 200 -2.22120418 1.45347015 -127.265625 83.277705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45364957-1.45347015) × R
    0.000179420000000041 × 6371000     		dl = 1143.08482000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45364957-1.45347015) × R
    0.000179420000000041 × 6371000     		dr = 1143.08482000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22273816--2.22120418) × cos(1.45364957) × R
    0.00153398000000005 × 0.116878999350216 × 6371000     		do = 1142.25689213353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22273816--2.22120418) × cos(1.45347015) × R
    0.00153398000000005 × 0.117057187752427 × 6371000     		du = 1143.99832499704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45364957)-sin(1.45347015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.116878999350216-0.117057187752427)×R²
    abs(-2.22120418--2.22273816)×0.000178188402210316×R²
    0.00153398000000005×0.000178188402210316×6371000²
    0.00153398000000005×0.000178188402210316×40589641000000     		ar = 1306691.82017879m²