Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59898 / 58970
↖ ↑ ↗
← S 80.727039°
E149.029541°		 ← 98.43 m → S 80.727039°
E149.035034°		 →
↑
98.43 m
↓
↑
98.43 m
↓
S 80.727924°
E149.029541°		 ← 98.42 m →
9 688 m²		 S 80.727924°
E149.035034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913978576660156 y=0.899818420410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913978576660156 × 216)
    floor (0.913978576660156 × 65536)
    floor (59898.5)     		tx = 59898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899818420410156 × 216)
    floor (0.899818420410156 × 65536)
    floor (58970.5)     		ty = 58970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59898 / 58970 ti = "16/59898/58970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59898/58970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59898 ÷ 216
    59898 ÷ 65536     		x = 0.913970947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58970 ÷ 216
    58970 ÷ 65536     		y = 0.899810791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913970947265625 × 2 - 1) × π
    0.82794189453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60105617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.79962158203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51208528768942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60105617} λ = 2.60105617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51208528768942))-π/2
    2×atan(0.0810989481537174)-π/2
    2×0.0809218495088106-π/2
    0.161843699017621-1.57079632675     		φ = -1.40895263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60105617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.029541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40895263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.727039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59898 KachelY 58970 2.60105617 -1.40895263 149.029541 -80.727039
    Oben rechts KachelX + 1 59899 KachelY 58970 2.60115205 -1.40895263 149.035034 -80.727039
    Unten links KachelX 59898 KachelY + 1 58971 2.60105617 -1.40896808 149.029541 -80.727924
    Unten rechts KachelX + 1 59899 KachelY + 1 58971 2.60115205 -1.40896808 149.035034 -80.727924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40895263--1.40896808) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dl = 98.431950000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40895263--1.40896808) × R
    1.54500000000279e-05 × 6371000     		dr = 98.431950000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60105617-2.60115205) × cos(-1.40895263) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.16113808258269 × 6371000     		do = 98.4314362299337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60105617-2.60115205) × cos(-1.40896808) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.161122834466049 × 6371000     		du = 98.4221218953162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40895263)-sin(-1.40896808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16113808258269-0.161122834466049)×R²
    abs(2.60115205-2.60105617)×1.52481166411089e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.52481166411089e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.52481166411089e-05×40589641000000     		ar = 9688.33979547298m²