Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59895 / 59295
↖ ↑ ↗
← S 81.010336°
E149.013061°		 ← 95.45 m → S 81.010336°
E149.018555°		 →
↑
95.44 m
↓
↑
95.44 m
↓
S 81.011194°
E149.013061°		 ← 95.44 m →
9 109 m²		 S 81.011194°
E149.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913932800292969 y=0.904777526855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913932800292969 × 216)
    floor (0.913932800292969 × 65536)
    floor (59895.5)     		tx = 59895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904777526855469 × 216)
    floor (0.904777526855469 × 65536)
    floor (59295.5)     		ty = 59295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59895 / 59295 ti = "16/59895/59295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59895/59295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59895 ÷ 216
    59895 ÷ 65536     		x = 0.913925170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59295 ÷ 216
    59295 ÷ 65536     		y = 0.904769897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913925170898438 × 2 - 1) × π
    0.827850341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60076855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904769897460938 × 2 - 1) × π
    -0.809539794921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54324427244246
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60076855} λ = 2.60076855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54324427244246))-π/2
    2×atan(0.0786109503011247)-π/2
    2×0.0784496178579046-π/2
    0.156899235715809-1.57079632675     		φ = -1.41389709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60076855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.013061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41389709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.010336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59895 KachelY 59295 2.60076855 -1.41389709 149.013061 -81.010336
    Oben rechts KachelX + 1 59896 KachelY 59295 2.60086443 -1.41389709 149.018555 -81.010336
    Unten links KachelX 59895 KachelY + 1 59296 2.60076855 -1.41391207 149.013061 -81.011194
    Unten rechts KachelX + 1 59896 KachelY + 1 59296 2.60086443 -1.41391207 149.018555 -81.011194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41389709--1.41391207) × R
    1.49799999999978e-05 × 6371000     		dl = 95.4375799999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41389709--1.41391207) × R
    1.49799999999978e-05 × 6371000     		dr = 95.4375799999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60076855-2.60086443) × cos(-1.41389709) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156256287583895 × 6371000     		do = 95.4493845298655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60076855-2.60086443) × cos(-1.41391207) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156241491572525 × 6371000     		du = 95.4403463644218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41389709)-sin(-1.41391207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156256287583895-0.156241491572525)×R²
    abs(2.60086443-2.60076855)×1.47960113703882e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.47960113703882e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.47960113703882e-05×40589641000000     		ar = 9109.02698178346m²