Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59895 / 59027
↖ ↑ ↗
← S 80.777358°
E149.013061°		 ← 97.90 m → S 80.777358°
E149.018555°		 →
↑
97.86 m
↓
↑
97.86 m
↓
S 80.778238°
E149.013061°		 ← 97.89 m →
9 580 m²		 S 80.778238°
E149.018555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913932800292969 y=0.900688171386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913932800292969 × 216)
    floor (0.913932800292969 × 65536)
    floor (59895.5)     		tx = 59895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900688171386719 × 216)
    floor (0.900688171386719 × 65536)
    floor (59027.5)     		ty = 59027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59895 / 59027 ti = "16/59895/59027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59895/59027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59895 ÷ 216
    59895 ÷ 65536     		x = 0.913925170898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59027 ÷ 216
    59027 ÷ 65536     		y = 0.900680541992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913925170898438 × 2 - 1) × π
    0.827850341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60076855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900680541992188 × 2 - 1) × π
    -0.801361083984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51755009424611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60076855} λ = 2.60076855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51755009424611))-π/2
    2×atan(0.0806569668611869)-π/2
    2×0.0804827405421407-π/2
    0.160965481084281-1.57079632675     		φ = -1.40983085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60076855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.013061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40983085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.777358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59895 KachelY 59027 2.60076855 -1.40983085 149.013061 -80.777358
    Oben rechts KachelX + 1 59896 KachelY 59027 2.60086443 -1.40983085 149.018555 -80.777358
    Unten links KachelX 59895 KachelY + 1 59028 2.60076855 -1.40984621 149.013061 -80.778238
    Unten rechts KachelX + 1 59896 KachelY + 1 59028 2.60086443 -1.40984621 149.018555 -80.778238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40983085--1.40984621) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dl = 97.8585599994188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40983085--1.40984621) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dr = 97.8585599994188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60076855-2.60086443) × cos(-1.40983085) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160271277245691 × 6371000     		do = 97.9019469069567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60076855-2.60086443) × cos(-1.40984621) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160256115785425 × 6371000     		du = 97.8926855065141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40983085)-sin(-1.40984621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160271277245691-0.160256115785425)×R²
    abs(2.60086443-2.60076855)×1.51614602663108e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.51614602663108e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.51614602663108e-05×40589641000000     		ar = 9580.09039208535m²