Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59894 / 59062
↖ ↑ ↗
← S 80.808120°
E149.007568°		 ← 97.57 m → S 80.808120°
E149.013061°		 →
↑
97.54 m
↓
↑
97.54 m
↓
S 80.808997°
E149.007568°		 ← 97.56 m →
9 516 m²		 S 80.808997°
E149.013061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913917541503906 y=0.901222229003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913917541503906 × 216)
    floor (0.913917541503906 × 65536)
    floor (59894.5)     		tx = 59894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901222229003906 × 216)
    floor (0.901222229003906 × 65536)
    floor (59062.5)     		ty = 59062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59894 / 59062 ti = "16/59894/59062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59894/59062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59894 ÷ 216
    59894 ÷ 65536     		x = 0.913909912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59062 ÷ 216
    59062 ÷ 65536     		y = 0.901214599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913909912109375 × 2 - 1) × π
    0.82781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60067268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901214599609375 × 2 - 1) × π
    -0.80242919921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52090567721951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60067268} λ = 2.60067268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52090567721951))-π/2
    2×atan(0.0803867693051942)-π/2
    2×0.0802142836011324-π/2
    0.160428567202265-1.57079632675     		φ = -1.41036776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60067268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.007568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41036776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.808120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59894 KachelY 59062 2.60067268 -1.41036776 149.007568 -80.808120
    Oben rechts KachelX + 1 59895 KachelY 59062 2.60076855 -1.41036776 149.013061 -80.808120
    Unten links KachelX 59894 KachelY + 1 59063 2.60067268 -1.41038307 149.007568 -80.808997
    Unten rechts KachelX + 1 59895 KachelY + 1 59063 2.60076855 -1.41038307 149.013061 -80.808997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41036776--1.41038307) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dl = 97.5400099999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41036776--1.41038307) × R
    1.53099999999906e-05 × 6371000     		dr = 97.5400099999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60067268-2.60076855) × cos(-1.41036776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159741284803018 × 6371000     		do = 97.5680231217681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60067268-2.60076855) × cos(-1.41038307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15972617138132 × 6371000     		du = 97.5587920286324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41036776)-sin(-1.41038307))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159741284803018-0.15972617138132)×R²
    abs(2.60076855-2.60067268)×1.51134216975213e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51134216975213e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51134216975213e-05×40589641000000     		ar = 9516.33575069765m²