Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59891 / 59490
↖ ↑ ↗
← S 81.176176°
E148.991089°		 ← 93.69 m → S 81.176176°
E148.996582°		 →
↑
93.72 m
↓
↑
93.72 m
↓
S 81.177019°
E148.991089°		 ← 93.68 m →
8 780 m²		 S 81.177019°
E148.996582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913871765136719 y=0.907752990722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913871765136719 × 216)
    floor (0.913871765136719 × 65536)
    floor (59891.5)     		tx = 59891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907752990722656 × 216)
    floor (0.907752990722656 × 65536)
    floor (59490.5)     		ty = 59490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59891 / 59490 ti = "16/59891/59490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59891/59490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59891 ÷ 216
    59891 ÷ 65536     		x = 0.913864135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59490 ÷ 216
    59490 ÷ 65536     		y = 0.907745361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913864135742188 × 2 - 1) × π
    0.827728271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60038506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907745361328125 × 2 - 1) × π
    -0.81549072265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56193966329428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60038506} λ = 2.60038506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56193966329428))-π/2
    2×atan(0.0771549406033794)-π/2
    2×0.0770023869551349-π/2
    0.15400477391027-1.57079632675     		φ = -1.41679155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60038506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.991089°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41679155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.176176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59891 KachelY 59490 2.60038506 -1.41679155 148.991089 -81.176176
    Oben rechts KachelX + 1 59892 KachelY 59490 2.60048093 -1.41679155 148.996582 -81.176176
    Unten links KachelX 59891 KachelY + 1 59491 2.60038506 -1.41680626 148.991089 -81.177019
    Unten rechts KachelX + 1 59892 KachelY + 1 59491 2.60048093 -1.41680626 148.996582 -81.177019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41679155--1.41680626) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dl = 93.7174100005376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41679155--1.41680626) × R
    1.47100000000844e-05 × 6371000     		dr = 93.7174100005376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60038506-2.60048093) × cos(-1.41679155) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153396730996765 × 6371000     		do = 93.6928472508018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60038506-2.60048093) × cos(-1.41680626) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153382195077666 × 6371000     		du = 93.6839688891904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41679155)-sin(-1.41680626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153396730996765-0.153382195077666)×R²
    abs(2.60048093-2.60038506)×1.45359190991123e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45359190991123e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45359190991123e-05×40589641000000     		ar = 8780.23495188996m²