Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59890 / 59780
↖ ↑ ↗
← S 81.417213°
E148.985596°		 ← 91.16 m → S 81.417213°
E148.991089°		 →
↑
91.11 m
↓
↑
91.11 m
↓
S 81.418033°
E148.985596°		 ← 91.15 m →
8 305 m²		 S 81.418033°
E148.991089°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913856506347656 y=0.912178039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913856506347656 × 216)
    floor (0.913856506347656 × 65536)
    floor (59890.5)     		tx = 59890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912178039550781 × 216)
    floor (0.912178039550781 × 65536)
    floor (59780.5)     		ty = 59780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59890 / 59780 ti = "16/59890/59780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59890/59780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59890 ÷ 216
    59890 ÷ 65536     		x = 0.913848876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59780 ÷ 216
    59780 ÷ 65536     		y = 0.91217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913848876953125 × 2 - 1) × π
    0.82769775390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60028918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91217041015625 × 2 - 1) × π
    -0.8243408203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58974306507391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60028918} λ = 2.60028918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58974306507391))-π/2
    2×atan(0.0750393178302382)-π/2
    2×0.0748989455006241-π/2
    0.149797891001248-1.57079632675     		φ = -1.42099844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60028918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.985596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42099844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.417213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59890 KachelY 59780 2.60028918 -1.42099844 148.985596 -81.417213
    Oben rechts KachelX + 1 59891 KachelY 59780 2.60038506 -1.42099844 148.991089 -81.417213
    Unten links KachelX 59890 KachelY + 1 59781 2.60028918 -1.42101274 148.985596 -81.418033
    Unten rechts KachelX + 1 59891 KachelY + 1 59781 2.60038506 -1.42101274 148.991089 -81.418033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42099844--1.42101274) × R
    1.43000000001337e-05 × 6371000     		dl = 91.1053000008515m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42099844--1.42101274) × R
    1.43000000001337e-05 × 6371000     		dr = 91.1053000008515m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60028918-2.60038506) × cos(-1.42099844) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.14923828573103 × 6371000     		do = 91.1624277114026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60028918-2.60038506) × cos(-1.42101274) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.149224145857737 × 6371000     		du = 91.1537903488745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42099844)-sin(-1.42101274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14923828573103-0.149224145857737)×R²
    abs(2.60038506-2.60028918)×1.41398732931286e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41398732931286e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41398732931286e-05×40589641000000     		ar = 8304.98687048184m²