Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59888 / 59487
↖ ↑ ↗
← S 81.173648°
E148.974610°		 ← 93.72 m → S 81.173648°
E148.980103°		 →
↑
93.72 m
↓
↑
93.72 m
↓
S 81.174491°
E148.974610°		 ← 93.71 m →
8 783 m²		 S 81.174491°
E148.980103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913825988769531 y=0.907707214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913825988769531 × 216)
    floor (0.913825988769531 × 65536)
    floor (59888.5)     		tx = 59888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907707214355469 × 216)
    floor (0.907707214355469 × 65536)
    floor (59487.5)     		ty = 59487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59888 / 59487 ti = "16/59888/59487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59888/59487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59888 ÷ 216
    59888 ÷ 65536     		x = 0.913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59487 ÷ 216
    59487 ÷ 65536     		y = 0.907699584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913818359375 × 2 - 1) × π
    0.82763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60009744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907699584960938 × 2 - 1) × π
    -0.815399169921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56165204189656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60009744} λ = 2.60009744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56165204189656))-π/2
    2×atan(0.0771771352069052)-π/2
    2×0.0770244501810321-π/2
    0.154048900362064-1.57079632675     		φ = -1.41674743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60009744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41674743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.173648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59888 KachelY 59487 2.60009744 -1.41674743 148.974610 -81.173648
    Oben rechts KachelX + 1 59889 KachelY 59487 2.60019331 -1.41674743 148.980103 -81.173648
    Unten links KachelX 59888 KachelY + 1 59488 2.60009744 -1.41676214 148.974610 -81.174491
    Unten rechts KachelX + 1 59889 KachelY + 1 59488 2.60019331 -1.41676214 148.980103 -81.174491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41674743--1.41676214) × R
    1.47099999998623e-05 × 6371000     		dl = 93.7174099991229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41674743--1.41676214) × R
    1.47099999998623e-05 × 6371000     		dr = 93.7174099991229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60009744-2.60019331) × cos(-1.41674743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153440328673314 × 6371000     		do = 93.7194761784387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60009744-2.60019331) × cos(-1.41676214) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15342579285378 × 6371000     		du = 93.7105978776403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41674743)-sin(-1.41676214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153440328673314-0.15342579285378)×R²
    abs(2.60019331-2.60009744)×1.45358195341727e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45358195341727e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45358195341727e-05×40589641000000     		ar = 8782.73054842228m²