Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59888 / 58991
↖ ↑ ↗
← S 80.745609°
E148.974610°		 ← 98.23 m → S 80.745609°
E148.980103°		 →
↑
98.24 m
↓
↑
98.24 m
↓
S 80.746492°
E148.974610°		 ← 98.22 m →
9 649 m²		 S 80.746492°
E148.980103°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913825988769531 y=0.900138854980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913825988769531 × 216)
    floor (0.913825988769531 × 65536)
    floor (59888.5)     		tx = 59888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900138854980469 × 216)
    floor (0.900138854980469 × 65536)
    floor (58991.5)     		ty = 58991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59888 / 58991 ti = "16/59888/58991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59888/58991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59888 ÷ 216
    59888 ÷ 65536     		x = 0.913818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58991 ÷ 216
    58991 ÷ 65536     		y = 0.900131225585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913818359375 × 2 - 1) × π
    0.82763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60009744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900131225585938 × 2 - 1) × π
    -0.800262451171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51409863747346
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60009744} λ = 2.60009744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51409863747346))-π/2
    2×atan(0.0809358318641396)-π/2
    2×0.0807597969033081-π/2
    0.161519593806616-1.57079632675     		φ = -1.40927673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60009744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.974610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40927673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.745609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59888 KachelY 58991 2.60009744 -1.40927673 148.974610 -80.745609
    Oben rechts KachelX + 1 59889 KachelY 58991 2.60019331 -1.40927673 148.980103 -80.745609
    Unten links KachelX 59888 KachelY + 1 58992 2.60009744 -1.40929215 148.974610 -80.746492
    Unten rechts KachelX + 1 59889 KachelY + 1 58992 2.60019331 -1.40929215 148.980103 -80.746492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40927673--1.40929215) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dl = 98.240819999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40927673--1.40929215) × R
    1.54199999999882e-05 × 6371000     		dr = 98.240819999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60009744-2.60019331) × cos(-1.40927673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160818209505804 × 6371000     		do = 98.2257955594408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60009744-2.60019331) × cos(-1.40929215) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160802990192724 × 6371000     		du = 98.2164997891436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40927673)-sin(-1.40929215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160818209505804-0.160802990192724)×R²
    abs(2.60019331-2.60009744)×1.52193130802392e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52193130802392e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52193130802392e-05×40589641000000     		ar = 9649.32608882028m²