Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59887 / 59087
↖ ↑ ↗
← S 80.830031°
E148.969116°		 ← 97.35 m → S 80.830031°
E148.974610°		 →
↑
97.35 m
↓
↑
97.35 m
↓
S 80.830907°
E148.969116°		 ← 97.34 m →
9 476 m²		 S 80.830907°
E148.974610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913810729980469 y=0.901603698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913810729980469 × 216)
    floor (0.913810729980469 × 65536)
    floor (59887.5)     		tx = 59887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901603698730469 × 216)
    floor (0.901603698730469 × 65536)
    floor (59087.5)     		ty = 59087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59887 / 59087 ti = "16/59887/59087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59887/59087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59887 ÷ 216
    59887 ÷ 65536     		x = 0.913803100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59087 ÷ 216
    59087 ÷ 65536     		y = 0.901596069335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913803100585938 × 2 - 1) × π
    0.827606201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60000156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901596069335938 × 2 - 1) × π
    -0.803192138671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52330252220052
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60000156} λ = 2.60000156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52330252220052))-π/2
    2×atan(0.0801943254018782)-π/2
    2×0.0800230723554528-π/2
    0.160046144710906-1.57079632675     		φ = -1.41075018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60000156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.969116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41075018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.830031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59887 KachelY 59087 2.60000156 -1.41075018 148.969116 -80.830031
    Oben rechts KachelX + 1 59888 KachelY 59087 2.60009744 -1.41075018 148.974610 -80.830031
    Unten links KachelX 59887 KachelY + 1 59088 2.60000156 -1.41076546 148.969116 -80.830907
    Unten rechts KachelX + 1 59888 KachelY + 1 59088 2.60009744 -1.41076546 148.974610 -80.830907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41075018--1.41076546) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dl = 97.3488799996871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41075018--1.41076546) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dr = 97.3488799996871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60000156-2.60009744) × cos(-1.41075018) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159363763819556 × 6371000     		do = 97.3475909874824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60000156-2.60009744) × cos(-1.41076546) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159348679080418 × 6371000     		du = 97.3383764522543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41075018)-sin(-1.41076546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159363763819556-0.159348679080418)×R²
    abs(2.60009744-2.60000156)×1.50847391383324e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.50847391383324e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.50847391383324e-05×40589641000000     		ar = 9476.23044090832m²