Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59887 / 58973
↖ ↑ ↗
← S 80.729694°
E148.969116°		 ← 98.40 m → S 80.729694°
E148.974610°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
S 80.730579°
E148.969116°		 ← 98.39 m →
9 679 m²		 S 80.730579°
E148.974610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913810729980469 y=0.899864196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913810729980469 × 216)
    floor (0.913810729980469 × 65536)
    floor (59887.5)     		tx = 59887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899864196777344 × 216)
    floor (0.899864196777344 × 65536)
    floor (58973.5)     		ty = 58973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59887 / 58973 ti = "16/59887/58973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59887/58973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59887 ÷ 216
    59887 ÷ 65536     		x = 0.913803100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58973 ÷ 216
    58973 ÷ 65536     		y = 0.899856567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913803100585938 × 2 - 1) × π
    0.827606201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60000156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899856567382812 × 2 - 1) × π
    -0.799713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.51237290908714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60000156} λ = 2.60000156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51237290908714))-π/2
    2×atan(0.0810756257150728)-π/2
    2×0.0808986794169525-π/2
    0.161797358833905-1.57079632675     		φ = -1.40899897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60000156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.969116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40899897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.729694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59887 KachelY 58973 2.60000156 -1.40899897 148.969116 -80.729694
    Oben rechts KachelX + 1 59888 KachelY 58973 2.60009744 -1.40899897 148.974610 -80.729694
    Unten links KachelX 59887 KachelY + 1 58974 2.60000156 -1.40901441 148.969116 -80.730579
    Unten rechts KachelX + 1 59888 KachelY + 1 58974 2.60009744 -1.40901441 148.974610 -80.730579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40899897--1.40901441) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dl = 98.3682399991506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40899897--1.40901441) × R
    1.54399999998667e-05 × 6371000     		dr = 98.3682399991506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60000156-2.60009744) × cos(-1.40899897) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.161092347986782 × 6371000     		do = 98.4034991843363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60000156-2.60009744) × cos(-1.40901441) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.161077109624214 × 6371000     		du = 98.3941908080087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40899897)-sin(-1.40901441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161092347986782-0.161077109624214)×R²
    abs(2.60009744-2.60000156)×1.52383625681707e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.52383625681707e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.52383625681707e-05×40589641000000     		ar = 9679.3212001446m²