Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59886 / 82536
↖ ↑ ↗
← S 42.244786°
W 15.518188°		 ← 226.05 m → S 42.244786°
W 15.515442°		 →
↑
226.04 m
↓
↑
226.04 m
↓
S 42.246818°
W 15.518188°		 ← 226.05 m →
51 097 m²		 S 42.246818°
W 15.515442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456897735595703 y=0.629703521728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456897735595703 × 217)
    floor (0.456897735595703 × 131072)
    floor (59886.5)     		tx = 59886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629703521728516 × 217)
    floor (0.629703521728516 × 131072)
    floor (82536.5)     		ty = 82536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59886 / 82536 ti = "17/59886/82536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59886/82536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59886 ÷ 217
    59886 ÷ 131072     		x = 0.456893920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82536 ÷ 217
    82536 ÷ 131072     		y = 0.62969970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456893920898438 × 2 - 1) × π
    -0.086212158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27084348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62969970703125 × 2 - 1) × π
    -0.2593994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.814927293540955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27084348} λ = -0.27084348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.814927293540955))-π/2
    2×atan(0.442671511269453)-π/2
    2×0.416742865275583-π/2
    0.833485730551166-1.57079632675     		φ = -0.73731060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27084348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.518188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73731060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.244786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59886 KachelY 82536 -0.27084348 -0.73731060 -15.518188 -42.244786
    Oben rechts KachelX + 1 59887 KachelY 82536 -0.27079555 -0.73731060 -15.515442 -42.244786
    Unten links KachelX 59886 KachelY + 1 82537 -0.27084348 -0.73734608 -15.518188 -42.246818
    Unten rechts KachelX + 1 59887 KachelY + 1 82537 -0.27079555 -0.73734608 -15.515442 -42.246818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73731060--0.73734608) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dl = 226.043079999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73731060--0.73734608) × R
    3.54799999999766e-05 × 6371000     		dr = 226.043079999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27084348--0.27079555) × cos(-0.73731060) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.740279315830266 × 6371000     		do = 226.05319464908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27084348--0.27079555) × cos(-0.73734608) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.740255462180262 × 6371000     		du = 226.045910650092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73731060)-sin(-0.73734608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.740279315830266-0.740255462180262)×R²
    abs(-0.27079555--0.27084348)×2.38536500040132e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38536500040132e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38536500040132e-05×40589641000000     		ar = 51096.9371188711m²