Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59886 / 27306
↖ ↑ ↗
← N 71.820272°
W 15.518188°		 ← 95.27 m → N 71.820272°
W 15.515442°		 →
↑
95.31 m
↓
↑
95.31 m
↓
N 71.819415°
W 15.518188°		 ← 95.28 m →
9 081 m²		 N 71.819415°
W 15.515442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456897735595703 y=0.208332061767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456897735595703 × 217)
    floor (0.456897735595703 × 131072)
    floor (59886.5)     		tx = 59886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208332061767578 × 217)
    floor (0.208332061767578 × 131072)
    floor (27306.5)     		ty = 27306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59886 / 27306 ti = "17/59886/27306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59886/27306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59886 ÷ 217
    59886 ÷ 131072     		x = 0.456893920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27306 ÷ 217
    27306 ÷ 131072     		y = 0.208328247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456893920898438 × 2 - 1) × π
    -0.086212158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27084348
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208328247070312 × 2 - 1) × π
    0.583343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83262767247475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27084348} λ = -0.27084348}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83262767247475))-π/2
    2×atan(6.25028881121298)-π/2
    2×1.41214827329993-π/2
    2.82429654659987-1.57079632675     		φ = 1.25350022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27084348} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.518188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25350022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.820272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59886 KachelY 27306 -0.27084348 1.25350022 -15.518188 71.820272
    Oben rechts KachelX + 1 59887 KachelY 27306 -0.27079555 1.25350022 -15.515442 71.820272
    Unten links KachelX 59886 KachelY + 1 27307 -0.27084348 1.25348526 -15.518188 71.819415
    Unten rechts KachelX + 1 59887 KachelY + 1 27307 -0.27079555 1.25348526 -15.515442 71.819415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25350022-1.25348526) × R
    1.49600000001193e-05 × 6371000     		dl = 95.3101600007602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25350022-1.25348526) × R
    1.49600000001193e-05 × 6371000     		dr = 95.3101600007602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27084348--0.27079555) × cos(1.25350022) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.311998782643165 × 6371000     		do = 95.2725816255039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27084348--0.27079555) × cos(1.25348526) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.312012995842474 × 6371000     		du = 95.2769217968977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25350022)-sin(1.25348526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311998782643165-0.312012995842474)×R²
    abs(-0.27079555--0.27084348)×1.42131993088879e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.42131993088879e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.42131993088879e-05×40589641000000     		ar = 9080.65182968046m²