Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59884 / 59140
↖ ↑ ↗
← S 80.876312°
E148.952637°		 ← 96.85 m → S 80.876312°
E148.958130°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
S 80.877183°
E148.952637°		 ← 96.84 m →
9 378 m²		 S 80.877183°
E148.958130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913764953613281 y=0.902412414550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913764953613281 × 216)
    floor (0.913764953613281 × 65536)
    floor (59884.5)     		tx = 59884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902412414550781 × 216)
    floor (0.902412414550781 × 65536)
    floor (59140.5)     		ty = 59140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59884 / 59140 ti = "16/59884/59140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59884/59140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59884 ÷ 216
    59884 ÷ 65536     		x = 0.91375732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59140 ÷ 216
    59140 ÷ 65536     		y = 0.90240478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91375732421875 × 2 - 1) × π
    0.8275146484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59971394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90240478515625 × 2 - 1) × π
    -0.8048095703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52838383356024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59971394} λ = 2.59971394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52838383356024))-π/2
    2×atan(0.0797878666116164)-π/2
    2×0.0796191977924696-π/2
    0.159238395584939-1.57079632675     		φ = -1.41155793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59971394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.952637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41155793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.876312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59884 KachelY 59140 2.59971394 -1.41155793 148.952637 -80.876312
    Oben rechts KachelX + 1 59885 KachelY 59140 2.59980981 -1.41155793 148.958130 -80.876312
    Unten links KachelX 59884 KachelY + 1 59141 2.59971394 -1.41157313 148.952637 -80.877183
    Unten rechts KachelX + 1 59885 KachelY + 1 59141 2.59980981 -1.41157313 148.958130 -80.877183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41155793--1.41157313) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dl = 96.8391999999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41155793--1.41157313) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dr = 96.8391999999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59971394-2.59980981) × cos(-1.41155793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158566285018328 × 6371000     		do = 96.8503476235269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59971394-2.59980981) × cos(-1.41157313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15855127730533 × 6371000     		du = 96.8411810959718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41155793)-sin(-1.41157313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158566285018328-0.15855127730533)×R²
    abs(2.59980981-2.59971394)×1.50077129984216e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50077129984216e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50077129984216e-05×40589641000000     		ar = 9378.46634407103m²