Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59884 / 30400
↖ ↑ ↗
← N 68.974163°
W 15.523682°		 ← 109.58 m → N 68.974163°
W 15.520935°		 →
↑
109.58 m
↓
↑
109.58 m
↓
N 68.973178°
W 15.523682°		 ← 109.59 m →
12 009 m²		 N 68.973178°
W 15.520935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456882476806641 y=0.231937408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456882476806641 × 217)
    floor (0.456882476806641 × 131072)
    floor (59884.5)     		tx = 59884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231937408447266 × 217)
    floor (0.231937408447266 × 131072)
    floor (30400.5)     		ty = 30400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59884 / 30400 ti = "17/59884/30400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59884/30400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59884 ÷ 217
    59884 ÷ 131072     		x = 0.456878662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30400 ÷ 217
    30400 ÷ 131072     		y = 0.23193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456878662109375 × 2 - 1) × π
    -0.08624267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27093936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23193359375 × 2 - 1) × π
    0.5361328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68431090505029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27093936} λ = -0.27093936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68431090505029))-π/2
    2×atan(5.3887363016591)-π/2
    2×1.38731129005862-π/2
    2.77462258011724-1.57079632675     		φ = 1.20382625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27093936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.523682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20382625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.974163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59884 KachelY 30400 -0.27093936 1.20382625 -15.523682 68.974163
    Oben rechts KachelX + 1 59885 KachelY 30400 -0.27089142 1.20382625 -15.520935 68.974163
    Unten links KachelX 59884 KachelY + 1 30401 -0.27093936 1.20380905 -15.523682 68.973178
    Unten rechts KachelX + 1 59885 KachelY + 1 30401 -0.27089142 1.20380905 -15.520935 68.973178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20382625-1.20380905) × R
    1.72000000000505e-05 × 6371000     		dl = 109.581200000322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20382625-1.20380905) × R
    1.72000000000505e-05 × 6371000     		dr = 109.581200000322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27093936--0.27089142) × cos(1.20382625) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.35878889613588 × 6371000     		do = 109.583364106139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27093936--0.27089142) × cos(1.20380905) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.358804950884986 × 6371000     		du = 109.588267639766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20382625)-sin(1.20380905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35878889613588-0.358804950884986)×R²
    abs(-0.27089142--0.27093936)×1.60547491062091e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.60547491062091e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.60547491062091e-05×40589641000000     		ar = 12008.5452065099m²