Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59884 / 30388
↖ ↑ ↗
← N 68.985986°
W 15.523682°		 ← 109.52 m → N 68.985986°
W 15.520935°		 →
↑
109.52 m
↓
↑
109.52 m
↓
N 68.985001°
W 15.523682°		 ← 109.53 m →
11 995 m²		 N 68.985001°
W 15.520935°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456882476806641 y=0.231845855712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456882476806641 × 217)
    floor (0.456882476806641 × 131072)
    floor (59884.5)     		tx = 59884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.231845855712891 × 217)
    floor (0.231845855712891 × 131072)
    floor (30388.5)     		ty = 30388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59884 / 30388 ti = "17/59884/30388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59884/30388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59884 ÷ 217
    59884 ÷ 131072     		x = 0.456878662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30388 ÷ 217
    30388 ÷ 131072     		y = 0.231842041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456878662109375 × 2 - 1) × π
    -0.08624267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27093936
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.231842041015625 × 2 - 1) × π
    0.53631591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.68488614784573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27093936} λ = -0.27093936}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68488614784573))-π/2
    2×atan(5.39183702514208)-π/2
    2×1.38741445772077-π/2
    2.77482891544153-1.57079632675     		φ = 1.20403259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27093936} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.523682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20403259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.985986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59884 KachelY 30388 -0.27093936 1.20403259 -15.523682 68.985986
    Oben rechts KachelX + 1 59885 KachelY 30388 -0.27089142 1.20403259 -15.520935 68.985986
    Unten links KachelX 59884 KachelY + 1 30389 -0.27093936 1.20401540 -15.523682 68.985001
    Unten rechts KachelX + 1 59885 KachelY + 1 30389 -0.27089142 1.20401540 -15.520935 68.985001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20403259-1.20401540) × R
    1.71899999998892e-05 × 6371000     		dl = 109.517489999294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20403259-1.20401540) × R
    1.71899999998892e-05 × 6371000     		dr = 109.517489999294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27093936--0.27089142) × cos(1.20403259) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.35859628687829 × 6371000     		do = 109.524536281109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27093936--0.27089142) × cos(1.20401540) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.358612333565576 × 6371000     		du = 109.529437352448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20403259)-sin(1.20401540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35859628687829-0.358612333565576)×R²
    abs(-0.27089142--0.27093936)×1.60466872859977e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.60466872859977e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.60466872859977e-05×40589641000000     		ar = 11995.1206837343m²