Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59882 / 58986
↖ ↑ ↗
← S 80.741191°
E148.941650°		 ← 98.28 m → S 80.741191°
E148.947144°		 →
↑
98.30 m
↓
↑
98.30 m
↓
S 80.742075°
E148.941650°		 ← 98.27 m →
9 661 m²		 S 80.742075°
E148.947144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913734436035156 y=0.900062561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913734436035156 × 216)
    floor (0.913734436035156 × 65536)
    floor (59882.5)     		tx = 59882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900062561035156 × 216)
    floor (0.900062561035156 × 65536)
    floor (58986.5)     		ty = 58986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59882 / 58986 ti = "16/59882/58986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59882/58986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59882 ÷ 216
    59882 ÷ 65536     		x = 0.913726806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58986 ÷ 216
    58986 ÷ 65536     		y = 0.900054931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913726806640625 × 2 - 1) × π
    0.82745361328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59952219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900054931640625 × 2 - 1) × π
    -0.80010986328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51361926847726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59952219} λ = 2.59952219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51361926847726))-π/2
    2×atan(0.0809746392934131)-π/2
    2×0.0807983516543706-π/2
    0.161596703308741-1.57079632675     		φ = -1.40919962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59952219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.941650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40919962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.741191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59882 KachelY 58986 2.59952219 -1.40919962 148.941650 -80.741191
    Oben rechts KachelX + 1 59883 KachelY 58986 2.59961807 -1.40919962 148.947144 -80.741191
    Unten links KachelX 59882 KachelY + 1 58987 2.59952219 -1.40921505 148.941650 -80.742075
    Unten rechts KachelX + 1 59883 KachelY + 1 58987 2.59961807 -1.40921505 148.947144 -80.742075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40919962--1.40921505) × R
    1.54299999999274e-05 × 6371000     		dl = 98.3045299995378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40919962--1.40921505) × R
    1.54299999999274e-05 × 6371000     		dr = 98.3045299995378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59952219-2.59961807) × cos(-1.40919962) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160894315367268 × 6371000     		do = 98.2825306656178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59952219-2.59961807) × cos(-1.40921505) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160879086375701 × 6371000     		du = 98.2732280135805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40919962)-sin(-1.40921505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160894315367268-0.160879086375701)×R²
    abs(2.59961807-2.59952219)×1.52289915665016e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.52289915665016e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.52289915665016e-05×40589641000000     		ar = 9661.16073794032m²