Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5988 / 6412
↖ ↑ ↗
← S 70.786910°
E 83.144532°		 ← 1 608.06 m → S 70.786910°
E 83.188477°		 →
↑
1 607.53 m
↓
↑
1 607.53 m
↓
S 70.801366°
E 83.144532°		 ← 1 606.89 m →
2 584 068 m²		 S 70.801366°
E 83.188477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.73101806640625 y=0.78277587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.73101806640625 × 213)
    floor (0.73101806640625 × 8192)
    floor (5988.5)     		tx = 5988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78277587890625 × 213)
    floor (0.78277587890625 × 8192)
    floor (6412.5)     		ty = 6412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5988 / 6412 ti = "13/5988/6412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5988/6412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5988 ÷ 213
    5988 ÷ 8192     		x = 0.73095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6412 ÷ 213
    6412 ÷ 8192     		y = 0.78271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73095703125 × 2 - 1) × π
    0.4619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.45114583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78271484375 × 2 - 1) × π
    -0.5654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7763497523208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.45114583} λ = 1.45114583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7763497523208))-π/2
    2×atan(0.169254843135863)-π/2
    2×0.167665841385325-π/2
    0.33533168277065-1.57079632675     		φ = -1.23546464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.45114583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.144532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23546464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.786910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5988 KachelY 6412 1.45114583 -1.23546464 83.144532 -70.786910
    Oben rechts KachelX + 1 5989 KachelY 6412 1.45191282 -1.23546464 83.188477 -70.786910
    Unten links KachelX 5988 KachelY + 1 6413 1.45114583 -1.23571696 83.144532 -70.801366
    Unten rechts KachelX + 1 5989 KachelY + 1 6413 1.45191282 -1.23571696 83.188477 -70.801366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23546464--1.23571696) × R
    0.000252319999999973 × 6371000     		dl = 1607.53071999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23546464--1.23571696) × R
    0.000252319999999973 × 6371000     		dr = 1607.53071999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.45114583-1.45191282) × cos(-1.23546464) × R
    0.000766990000000023 × 0.329082400211873 × 6371000     		do = 1608.05894049246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.45114583-1.45191282) × cos(-1.23571696) × R
    0.000766990000000023 × 0.328844123657694 × 6371000     		du = 1606.8946037093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23546464)-sin(-1.23571696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329082400211873-0.328844123657694)×R²
    abs(1.45191282-1.45114583)×0.00023827655417874×R²
    0.000766990000000023×0.00023827655417874×6371000²
    0.000766990000000023×0.00023827655417874×40589641000000     		ar = 2584068.30654715m²