Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59879 / 30263
↖ ↑ ↗
← N 69.108756°
W 15.537414°		 ← 108.91 m → N 69.108756°
W 15.534668°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
N 69.107777°
W 15.537414°		 ← 108.92 m →
11 866 m²		 N 69.107777°
W 15.534668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456844329833984 y=0.230892181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456844329833984 × 217)
    floor (0.456844329833984 × 131072)
    floor (59879.5)     		tx = 59879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230892181396484 × 217)
    floor (0.230892181396484 × 131072)
    floor (30263.5)     		ty = 30263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59879 / 30263 ti = "17/59879/30263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59879/30263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59879 ÷ 217
    59879 ÷ 131072     		x = 0.456840515136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30263 ÷ 217
    30263 ÷ 131072     		y = 0.230888366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456840515136719 × 2 - 1) × π
    -0.0863189697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27117904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230888366699219 × 2 - 1) × π
    0.538223266601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.69087826029824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27117904} λ = -0.27117904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69087826029824))-π/2
    2×atan(5.42424251061788)-π/2
    2×1.3884858323288-π/2
    2.77697166465759-1.57079632675     		φ = 1.20617534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27117904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.537414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20617534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.108756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59879 KachelY 30263 -0.27117904 1.20617534 -15.537414 69.108756
    Oben rechts KachelX + 1 59880 KachelY 30263 -0.27113110 1.20617534 -15.534668 69.108756
    Unten links KachelX 59879 KachelY + 1 30264 -0.27117904 1.20615824 -15.537414 69.107777
    Unten rechts KachelX + 1 59880 KachelY + 1 30264 -0.27113110 1.20615824 -15.534668 69.107777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20617534-1.20615824) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20617534-1.20615824) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27117904--0.27113110) × cos(1.20617534) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356595223606643 × 6371000     		do = 108.913360050453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27117904--0.27113110) × cos(1.20615824) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356611199383108 × 6371000     		du = 108.918239463802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20617534)-sin(1.20615824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356595223606643-0.356611199383108)×R²
    abs(-0.27113110--0.27117904)×1.59757764650603e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59757764650603e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59757764650603e-05×40589641000000     		ar = 11865.7337807667m²