Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59877 / 59149
↖ ↑ ↗
← S 80.884148°
E148.914184°		 ← 96.78 m → S 80.884148°
E148.919678°		 →
↑
96.78 m
↓
↑
96.78 m
↓
S 80.885018°
E148.914184°		 ← 96.77 m →
9 365 m²		 S 80.885018°
E148.919678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913658142089844 y=0.902549743652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913658142089844 × 216)
    floor (0.913658142089844 × 65536)
    floor (59877.5)     		tx = 59877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902549743652344 × 216)
    floor (0.902549743652344 × 65536)
    floor (59149.5)     		ty = 59149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59877 / 59149 ti = "16/59877/59149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59877/59149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59877 ÷ 216
    59877 ÷ 65536     		x = 0.913650512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59149 ÷ 216
    59149 ÷ 65536     		y = 0.902542114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913650512695312 × 2 - 1) × π
    0.827301025390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59904282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902542114257812 × 2 - 1) × π
    -0.805084228515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5292466977534
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59904282} λ = 2.59904282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5292466977534))-π/2
    2×atan(0.0797190502123416)-π/2
    2×0.0795508163412459-π/2
    0.159101632682492-1.57079632675     		φ = -1.41169469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59904282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.914184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41169469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.884148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59877 KachelY 59149 2.59904282 -1.41169469 148.914184 -80.884148
    Oben rechts KachelX + 1 59878 KachelY 59149 2.59913870 -1.41169469 148.919678 -80.884148
    Unten links KachelX 59877 KachelY + 1 59150 2.59904282 -1.41170988 148.914184 -80.885018
    Unten rechts KachelX + 1 59878 KachelY + 1 59150 2.59913870 -1.41170988 148.919678 -80.885018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41169469--1.41170988) × R
    1.51900000000538e-05 × 6371000     		dl = 96.7754900003426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41169469--1.41170988) × R
    1.51900000000538e-05 × 6371000     		dr = 96.7754900003426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59904282-2.59913870) × cos(-1.41169469) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158431253777693 × 6371000     		do = 96.7779658482961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59904282-2.59913870) × cos(-1.41170988) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.158416255608955 × 6371000     		du = 96.768804194725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41169469)-sin(-1.41170988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158431253777693-0.158416255608955)×R²
    abs(2.59913870-2.59904282)×1.49981687383449e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.49981687383449e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.49981687383449e-05×40589641000000     		ar = 9365.29175446114m²