Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59877 / 27275
↖ ↑ ↗
← N 71.846819°
W 15.542907°		 ← 95.14 m → N 71.846819°
W 15.540161°		 →
↑
95.18 m
↓
↑
95.18 m
↓
N 71.845963°
W 15.542907°		 ← 95.14 m →
9 056 m²		 N 71.845963°
W 15.540161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456829071044922 y=0.208095550537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456829071044922 × 217)
    floor (0.456829071044922 × 131072)
    floor (59877.5)     		tx = 59877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208095550537109 × 217)
    floor (0.208095550537109 × 131072)
    floor (27275.5)     		ty = 27275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59877 / 27275 ti = "17/59877/27275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59877/27275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59877 ÷ 217
    59877 ÷ 131072     		x = 0.456825256347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27275 ÷ 217
    27275 ÷ 131072     		y = 0.208091735839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456825256347656 × 2 - 1) × π
    -0.0863494873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27127491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208091735839844 × 2 - 1) × π
    0.583816528320312 × 3.1415926535     		Φ = 1.83411371636297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27127491} λ = -0.27127491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83411371636297))-π/2
    2×atan(6.25958391945935)-π/2
    2×1.41237993166025-π/2
    2.8247598633205-1.57079632675     		φ = 1.25396354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27127491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.542907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25396354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.846819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59877 KachelY 27275 -0.27127491 1.25396354 -15.542907 71.846819
    Oben rechts KachelX + 1 59878 KachelY 27275 -0.27122698 1.25396354 -15.540161 71.846819
    Unten links KachelX 59877 KachelY + 1 27276 -0.27127491 1.25394860 -15.542907 71.845963
    Unten rechts KachelX + 1 59878 KachelY + 1 27276 -0.27122698 1.25394860 -15.540161 71.845963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25396354-1.25394860) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dl = 95.1827400001199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25396354-1.25394860) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dr = 95.1827400001199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27127491--0.27122698) × cos(1.25396354) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.311558556946651 × 6371000     		do = 95.138153413048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27127491--0.27122698) × cos(1.25394860) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.311572753302584 × 6371000     		du = 95.1424884411145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25396354)-sin(1.25394860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311558556946651-0.311572753302584)×R²
    abs(-0.27122698--0.27127491)×1.41963559334157e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.41963559334157e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.41963559334157e-05×40589641000000     		ar = 9055.71643044384m²