Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59876 / 59043
↖ ↑ ↗
← S 80.791433°
E148.908691°		 ← 97.74 m → S 80.791433°
E148.914184°		 →
↑
97.73 m
↓
↑
97.73 m
↓
S 80.792312°
E148.908691°		 ← 97.73 m →
9 552 m²		 S 80.792312°
E148.914184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913642883300781 y=0.900932312011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913642883300781 × 216)
    floor (0.913642883300781 × 65536)
    floor (59876.5)     		tx = 59876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900932312011719 × 216)
    floor (0.900932312011719 × 65536)
    floor (59043.5)     		ty = 59043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59876 / 59043 ti = "16/59876/59043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59876/59043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59876 ÷ 216
    59876 ÷ 65536     		x = 0.91363525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59043 ÷ 216
    59043 ÷ 65536     		y = 0.900924682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91363525390625 × 2 - 1) × π
    0.8272705078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59894695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900924682617188 × 2 - 1) × π
    -0.801849365234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51908407503395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59894695} λ = 2.59894695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51908407503395))-π/2
    2×atan(0.0805333354719472)-π/2
    2×0.0803599070277752-π/2
    0.16071981405555-1.57079632675     		φ = -1.41007651
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59894695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.908691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41007651 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.791433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59876 KachelY 59043 2.59894695 -1.41007651 148.908691 -80.791433
    Oben rechts KachelX + 1 59877 KachelY 59043 2.59904282 -1.41007651 148.914184 -80.791433
    Unten links KachelX 59876 KachelY + 1 59044 2.59894695 -1.41009185 148.908691 -80.792312
    Unten rechts KachelX + 1 59877 KachelY + 1 59044 2.59904282 -1.41009185 148.914184 -80.792312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41007651--1.41009185) × R
    1.53400000000303e-05 × 6371000     		dl = 97.7311400001932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41007651--1.41009185) × R
    1.53400000000303e-05 × 6371000     		dr = 97.7311400001932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59894695-2.59904282) × cos(-1.41007651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160028788057569 × 6371000     		do = 97.7436265934829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59894695-2.59904282) × cos(-1.41009185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160013645735327 × 6371000     		du = 97.7343778482481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41007651)-sin(-1.41009185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160028788057569-0.160013645735327)×R²
    abs(2.59904282-2.59894695)×1.51423222418956e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51423222418956e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51423222418956e-05×40589641000000     		ar = 9552.14410964549m²