Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59876 / 27297
↖ ↑ ↗
← N 71.827983°
W 15.545654°		 ← 95.25 m → N 71.827983°
W 15.542907°		 →
↑
95.25 m
↓
↑
95.25 m
↓
N 71.827127°
W 15.545654°		 ← 95.26 m →
9 073 m²		 N 71.827127°
W 15.542907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456821441650391 y=0.208263397216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456821441650391 × 217)
    floor (0.456821441650391 × 131072)
    floor (59876.5)     		tx = 59876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208263397216797 × 217)
    floor (0.208263397216797 × 131072)
    floor (27297.5)     		ty = 27297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59876 / 27297 ti = "17/59876/27297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59876/27297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59876 ÷ 217
    59876 ÷ 131072     		x = 0.456817626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27297 ÷ 217
    27297 ÷ 131072     		y = 0.208259582519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456817626953125 × 2 - 1) × π
    -0.08636474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27132285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208259582519531 × 2 - 1) × π
    0.583480834960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.83305910457133
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27132285} λ = -0.27132285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83305910457133))-π/2
    2×atan(6.25298596819724)-π/2
    2×1.41221556265247-π/2
    2.82443112530494-1.57079632675     		φ = 1.25363480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27132285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.545654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25363480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.827983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59876 KachelY 27297 -0.27132285 1.25363480 -15.545654 71.827983
    Oben rechts KachelX + 1 59877 KachelY 27297 -0.27127491 1.25363480 -15.542907 71.827983
    Unten links KachelX 59876 KachelY + 1 27298 -0.27132285 1.25361985 -15.545654 71.827127
    Unten rechts KachelX + 1 59877 KachelY + 1 27298 -0.27127491 1.25361985 -15.542907 71.827127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25363480-1.25361985) × R
    1.49499999999581e-05 × 6371000     		dl = 95.2464499997327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25363480-1.25361985) × R
    1.49499999999581e-05 × 6371000     		dr = 95.2464499997327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27132285--0.27127491) × cos(1.25363480) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.311870917715075 × 6371000     		do = 95.2534058276537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27132285--0.27127491) × cos(1.25361985) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.311885122041224 × 6371000     		du = 95.2577441944789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25363480)-sin(1.25361985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311870917715075-0.311885122041224)×R²
    abs(-0.27127491--0.27132285)×1.42043261485703e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.42043261485703e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.42043261485703e-05×40589641000000     		ar = 9072.75536276389m²