Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59875 / 59041
↖ ↑ ↗
← S 80.789674°
E148.903198°		 ← 97.76 m → S 80.789674°
E148.908691°		 →
↑
97.79 m
↓
↑
97.79 m
↓
S 80.790554°
E148.903198°		 ← 97.75 m →
9 560 m²		 S 80.790554°
E148.908691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913627624511719 y=0.900901794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913627624511719 × 216)
    floor (0.913627624511719 × 65536)
    floor (59875.5)     		tx = 59875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900901794433594 × 216)
    floor (0.900901794433594 × 65536)
    floor (59041.5)     		ty = 59041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59875 / 59041 ti = "16/59875/59041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59875/59041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59875 ÷ 216
    59875 ÷ 65536     		x = 0.913619995117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59041 ÷ 216
    59041 ÷ 65536     		y = 0.900894165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913619995117188 × 2 - 1) × π
    0.827239990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59885108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900894165039062 × 2 - 1) × π
    -0.801788330078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51889232743547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59885108} λ = 2.59885108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51889232743547))-π/2
    2×atan(0.0805487790262065)-π/2
    2×0.0803752510474972-π/2
    0.160750502094994-1.57079632675     		φ = -1.41004582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59885108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.903198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41004582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.789674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59875 KachelY 59041 2.59885108 -1.41004582 148.903198 -80.789674
    Oben rechts KachelX + 1 59876 KachelY 59041 2.59894695 -1.41004582 148.908691 -80.789674
    Unten links KachelX 59875 KachelY + 1 59042 2.59885108 -1.41006117 148.903198 -80.790554
    Unten rechts KachelX + 1 59876 KachelY + 1 59042 2.59894695 -1.41006117 148.908691 -80.790554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41004582--1.41006117) × R
    1.53500000001916e-05 × 6371000     		dl = 97.7948500012207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41004582--1.41006117) × R
    1.53500000001916e-05 × 6371000     		dr = 97.7948500012207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59885108-2.59894695) × cos(-1.41004582) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160059082460151 × 6371000     		do = 97.7621300440798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59885108-2.59894695) × cos(-1.41006117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160043930342153 × 6371000     		du = 97.7528753157169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41004582)-sin(-1.41006117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160059082460151-0.160043930342153)×R²
    abs(2.59894695-2.59885108)×1.51521179982961e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51521179982961e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51521179982961e-05×40589641000000     		ar = 9560.18031101518m²