Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59874 / 59038
↖ ↑ ↗
← S 80.787037°
E148.897705°		 ← 97.80 m → S 80.787037°
E148.903198°		 →
↑
97.79 m
↓
↑
97.79 m
↓
S 80.787916°
E148.897705°		 ← 97.79 m →
9 564 m²		 S 80.787916°
E148.903198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913612365722656 y=0.900856018066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913612365722656 × 216)
    floor (0.913612365722656 × 65536)
    floor (59874.5)     		tx = 59874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900856018066406 × 216)
    floor (0.900856018066406 × 65536)
    floor (59038.5)     		ty = 59038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59874 / 59038 ti = "16/59874/59038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59874/59038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59874 ÷ 216
    59874 ÷ 65536     		x = 0.913604736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59038 ÷ 216
    59038 ÷ 65536     		y = 0.900848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913604736328125 × 2 - 1) × π
    0.82720947265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59875520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900848388671875 × 2 - 1) × π
    -0.80169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51860470603775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59875520} λ = 2.59875520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51860470603775))-π/2
    2×atan(0.080571949910676)-π/2
    2×0.0803982725232254-π/2
    0.160796545046451-1.57079632675     		φ = -1.40999978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59875520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.897705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40999978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.787037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59874 KachelY 59038 2.59875520 -1.40999978 148.897705 -80.787037
    Oben rechts KachelX + 1 59875 KachelY 59038 2.59885108 -1.40999978 148.903198 -80.787037
    Unten links KachelX 59874 KachelY + 1 59039 2.59875520 -1.41001513 148.897705 -80.787916
    Unten rechts KachelX + 1 59875 KachelY + 1 59039 2.59885108 -1.41001513 148.903198 -80.787916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40999978--1.41001513) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dl = 97.794849999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40999978--1.41001513) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dr = 97.794849999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59875520-2.59885108) × cos(-1.40999978) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.16010452871685 × 6371000     		do = 97.8000883217789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59875520-2.59885108) × cos(-1.41001513) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.160089376711978 × 6371000     		du = 97.7908326971782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40999978)-sin(-1.41001513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16010452871685-0.160089376711978)×R²
    abs(2.59885108-2.59875520)×1.51520048713716e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.51520048713716e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.51520048713716e-05×40589641000000     		ar = 9563.89239109951m²