Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59873 / 58269
↖ ↑ ↗
← S 80.085516°
E148.892212°		 ← 105.16 m → S 80.085516°
E148.897705°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
S 80.086461°
E148.892212°		 ← 105.15 m →
11 055 m²		 S 80.086461°
E148.897705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913597106933594 y=0.889122009277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913597106933594 × 216)
    floor (0.913597106933594 × 65536)
    floor (59873.5)     		tx = 59873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.889122009277344 × 216)
    floor (0.889122009277344 × 65536)
    floor (58269.5)     		ty = 58269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59873 / 58269 ti = "16/59873/58269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59873/58269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59873 ÷ 216
    59873 ÷ 65536     		x = 0.913589477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58269 ÷ 216
    58269 ÷ 65536     		y = 0.889114379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913589477539062 × 2 - 1) × π
    0.827178955078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59865933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.889114379882812 × 2 - 1) × π
    -0.778228759765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.4448777544221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59865933} λ = 2.59865933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4448777544221))-π/2
    2×atan(0.0867367374362542)-π/2
    2×0.0865201996520078-π/2
    0.173040399304016-1.57079632675     		φ = -1.39775593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59865933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.892212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39775593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.085516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59873 KachelY 58269 2.59865933 -1.39775593 148.892212 -80.085516
    Oben rechts KachelX + 1 59874 KachelY 58269 2.59875520 -1.39775593 148.897705 -80.085516
    Unten links KachelX 59873 KachelY + 1 58270 2.59865933 -1.39777243 148.892212 -80.086461
    Unten rechts KachelX + 1 59874 KachelY + 1 58270 2.59875520 -1.39777243 148.897705 -80.086461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39775593--1.39777243) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dl = 105.121500000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39775593--1.39777243) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dr = 105.121500000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59865933-2.59875520) × cos(-1.39775593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172178131255402 × 6371000     		do = 105.164296832252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59865933-2.59875520) × cos(-1.39777243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172161877645756 × 6371000     		du = 105.154369326262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39775593)-sin(-1.39777243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172178131255402-0.172161877645756)×R²
    abs(2.59875520-2.59865933)×1.62536096461885e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62536096461885e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62536096461885e-05×40589641000000     		ar = 11054.5068325917m²