Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59873 / 27290
↖ ↑ ↗
← N 71.833978°
W 15.553894°		 ← 95.20 m → N 71.833978°
W 15.551148°		 →
↑
95.18 m
↓
↑
95.18 m
↓
N 71.833122°
W 15.553894°		 ← 95.21 m →
9 062 m²		 N 71.833122°
W 15.551148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456798553466797 y=0.208209991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456798553466797 × 217)
    floor (0.456798553466797 × 131072)
    floor (59873.5)     		tx = 59873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.208209991455078 × 217)
    floor (0.208209991455078 × 131072)
    floor (27290.5)     		ty = 27290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59873 / 27290 ti = "17/59873/27290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59873/27290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59873 ÷ 217
    59873 ÷ 131072     		x = 0.456794738769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27290 ÷ 217
    27290 ÷ 131072     		y = 0.208206176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456794738769531 × 2 - 1) × π
    -0.0864105224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27146666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.208206176757812 × 2 - 1) × π
    0.583587646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83339466286867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27146666} λ = -0.27146666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83339466286867))-π/2
    2×atan(6.25508456160255)-π/2
    2×1.41226787974931-π/2
    2.82453575949863-1.57079632675     		φ = 1.25373943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27146666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.553894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25373943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.833978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59873 KachelY 27290 -0.27146666 1.25373943 -15.553894 71.833978
    Oben rechts KachelX + 1 59874 KachelY 27290 -0.27141873 1.25373943 -15.551148 71.833978
    Unten links KachelX 59873 KachelY + 1 27291 -0.27146666 1.25372449 -15.553894 71.833122
    Unten rechts KachelX + 1 59874 KachelY + 1 27291 -0.27141873 1.25372449 -15.551148 71.833122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25373943-1.25372449) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dl = 95.1827400001199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25373943-1.25372449) × R
    1.49400000000188e-05 × 6371000     		dr = 95.1827400001199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27146666--0.27141873) × cos(1.25373943) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.311771504483645 × 6371000     		do = 95.2031795053382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27146666--0.27141873) × cos(1.25372449) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.311785699796037 × 6371000     		du = 95.2075142147466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25373943)-sin(1.25372449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.311771504483645-0.311785699796037)×R²
    abs(-0.27141873--0.27146666)×1.41953123917182e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.41953123917182e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.41953123917182e-05×40589641000000     		ar = 9061.90577700476m²