Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59872 / 59040
↖ ↑ ↗
← S 80.788795°
E148.886718°		 ← 97.78 m → S 80.788795°
E148.892212°		 →
↑
97.73 m
↓
↑
97.73 m
↓
S 80.789674°
E148.886718°		 ← 97.77 m →
9 556 m²		 S 80.789674°
E148.892212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913581848144531 y=0.900886535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913581848144531 × 216)
    floor (0.913581848144531 × 65536)
    floor (59872.5)     		tx = 59872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900886535644531 × 216)
    floor (0.900886535644531 × 65536)
    floor (59040.5)     		ty = 59040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59872 / 59040 ti = "16/59872/59040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59872/59040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59872 ÷ 216
    59872 ÷ 65536     		x = 0.91357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59040 ÷ 216
    59040 ÷ 65536     		y = 0.90087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91357421875 × 2 - 1) × π
    0.8271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59856345
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90087890625 × 2 - 1) × π
    -0.8017578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51879645363623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59856345} λ = 2.59856345}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51879645363623))-π/2
    2×atan(0.0805565019138813)-π/2
    2×0.0803829241465203-π/2
    0.160765848293041-1.57079632675     		φ = -1.41003048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59856345} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.886718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41003048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.788795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59872 KachelY 59040 2.59856345 -1.41003048 148.886718 -80.788795
    Oben rechts KachelX + 1 59873 KachelY 59040 2.59865933 -1.41003048 148.892212 -80.788795
    Unten links KachelX 59872 KachelY + 1 59041 2.59856345 -1.41004582 148.886718 -80.789674
    Unten rechts KachelX + 1 59873 KachelY + 1 59041 2.59865933 -1.41004582 148.892212 -80.789674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41003048--1.41004582) × R
    1.53399999998083e-05 × 6371000     		dl = 97.7311399987786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41003048--1.41004582) × R
    1.53399999998083e-05 × 6371000     		dr = 97.7311399987786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59856345-2.59865933) × cos(-1.41003048) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160074224669386 × 6371000     		do = 97.7815770490828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59856345-2.59865933) × cos(-1.41004582) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.160059082460151 × 6371000     		du = 97.7723274081614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41003048)-sin(-1.41004582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160074224669386-0.160059082460151)×R²
    abs(2.59865933-2.59856345)×1.51422092345976e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.51422092345976e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.51422092345976e-05×40589641000000     		ar = 9555.85300703778m²