Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59871 / 59290
↖ ↑ ↗
← S 81.006043°
E148.881226°		 ← 95.48 m → S 81.006043°
E148.886718°		 →
↑
95.50 m
↓
↑
95.50 m
↓
S 81.006902°
E148.881226°		 ← 95.48 m →
9 118 m²		 S 81.006902°
E148.886718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59871 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913566589355469 y=0.904701232910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913566589355469 × 216)
    floor (0.913566589355469 × 65536)
    floor (59871.5)     		tx = 59871
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904701232910156 × 216)
    floor (0.904701232910156 × 65536)
    floor (59290.5)     		ty = 59290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59871 / 59290 ti = "16/59871/59290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59871/59290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59871 ÷ 216
    59871 ÷ 65536     		x = 0.913558959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59290 ÷ 216
    59290 ÷ 65536     		y = 0.904693603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913558959960938 × 2 - 1) × π
    0.827117919921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59846758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.80938720703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54276490344626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59846758} λ = 2.59846758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54276490344626))-π/2
    2×atan(0.0786486429870916)-π/2
    2×0.0784870789353271-π/2
    0.156974157870654-1.57079632675     		φ = -1.41382217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59846758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.881226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41382217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.006043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59871 KachelY 59290 2.59846758 -1.41382217 148.881226 -81.006043
    Oben rechts KachelX + 1 59872 KachelY 59290 2.59856345 -1.41382217 148.886718 -81.006043
    Unten links KachelX 59871 KachelY + 1 59291 2.59846758 -1.41383716 148.881226 -81.006902
    Unten rechts KachelX + 1 59872 KachelY + 1 59291 2.59856345 -1.41383716 148.886718 -81.006902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41382217--1.41383716) × R
    1.4989999999937e-05 × 6371000     		dl = 95.5012899995986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41382217--1.41383716) × R
    1.4989999999937e-05 × 6371000     		dr = 95.5012899995986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59846758-2.59856345) × cos(-1.41382217) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156330286868818 × 6371000     		do = 95.4846273000636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59846758-2.59856345) × cos(-1.41383716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156315481155776 × 6371000     		du = 95.4755841516113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41382217)-sin(-1.41383716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156330286868818-0.156315481155776)×R²
    abs(2.59856345-2.59846758)×1.48057130422152e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48057130422152e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48057130422152e-05×40589641000000     		ar = 9118.47326616505m²