Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59870 / 58976
↖ ↑ ↗
← S 80.732348°
E148.875733°		 ← 98.37 m → S 80.732348°
E148.881226°		 →
↑
98.37 m
↓
↑
98.37 m
↓
S 80.733233°
E148.875733°		 ← 98.36 m →
9 676 m²		 S 80.733233°
E148.881226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913551330566406 y=0.899909973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913551330566406 × 216)
    floor (0.913551330566406 × 65536)
    floor (59870.5)     		tx = 59870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899909973144531 × 216)
    floor (0.899909973144531 × 65536)
    floor (58976.5)     		ty = 58976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59870 / 58976 ti = "16/59870/58976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59870/58976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59870 ÷ 216
    59870 ÷ 65536     		x = 0.913543701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58976 ÷ 216
    58976 ÷ 65536     		y = 0.89990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913543701171875 × 2 - 1) × π
    0.82708740234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59837171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89990234375 × 2 - 1) × π
    -0.7998046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51266053048486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59837171} λ = 2.59837171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51266053048486))-π/2
    2×atan(0.0810523099834959)-π/2
    2×0.0808755159013361-π/2
    0.161751031802672-1.57079632675     		φ = -1.40904529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59837171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.875733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40904529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.732348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59870 KachelY 58976 2.59837171 -1.40904529 148.875733 -80.732348
    Oben rechts KachelX + 1 59871 KachelY 58976 2.59846758 -1.40904529 148.881226 -80.732348
    Unten links KachelX 59870 KachelY + 1 58977 2.59837171 -1.40906073 148.875733 -80.733233
    Unten rechts KachelX + 1 59871 KachelY + 1 58977 2.59846758 -1.40906073 148.881226 -80.733233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40904529--1.40906073) × R
    1.54400000000887e-05 × 6371000     		dl = 98.3682400005652m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40904529--1.40906073) × R
    1.54400000000887e-05 × 6371000     		dr = 98.3682400005652m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59837171-2.59846758) × cos(-1.40904529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161046632783882 × 6371000     		do = 98.3653137040738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59837171-2.59846758) × cos(-1.40906073) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161031394306125 × 6371000     		du = 98.3560062282266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40904529)-sin(-1.40906073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161046632783882-0.161031394306125)×R²
    abs(2.59846758-2.59837171)×1.52384777567238e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.52384777567238e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.52384777567238e-05×40589641000000     		ar = 9675.56500644224m²