Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59870 / 30246
↖ ↑ ↗
← N 69.125400°
W 15.562134°		 ← 108.81 m → N 69.125400°
W 15.559387°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
N 69.124422°
W 15.562134°		 ← 108.81 m →
11 840 m²		 N 69.124422°
W 15.559387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456775665283203 y=0.230762481689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456775665283203 × 217)
    floor (0.456775665283203 × 131072)
    floor (59870.5)     		tx = 59870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230762481689453 × 217)
    floor (0.230762481689453 × 131072)
    floor (30246.5)     		ty = 30246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59870 / 30246 ti = "17/59870/30246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59870/30246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59870 ÷ 217
    59870 ÷ 131072     		x = 0.456771850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30246 ÷ 217
    30246 ÷ 131072     		y = 0.230758666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456771850585938 × 2 - 1) × π
    -0.086456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27161047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230758666992188 × 2 - 1) × π
    0.538482666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69169318759178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27161047} λ = -0.27161047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69169318759178))-π/2
    2×atan(5.42866467551327)-π/2
    2×1.38863107661968-π/2
    2.77726215323937-1.57079632675     		φ = 1.20646583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27161047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.562134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20646583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.125400°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59870 KachelY 30246 -0.27161047 1.20646583 -15.562134 69.125400
    Oben rechts KachelX + 1 59871 KachelY 30246 -0.27156254 1.20646583 -15.559387 69.125400
    Unten links KachelX 59870 KachelY + 1 30247 -0.27161047 1.20644875 -15.562134 69.124422
    Unten rechts KachelX + 1 59871 KachelY + 1 30247 -0.27156254 1.20644875 -15.559387 69.124422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20646583-1.20644875) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dl = 108.81667999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20646583-1.20644875) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dr = 108.81667999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27161047--0.27156254) × cos(1.20646583) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.356323815673071 × 6371000     		do = 108.807763691215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27161047--0.27156254) × cos(1.20644875) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.356339774533116 × 6371000     		du = 108.812636921115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20646583)-sin(1.20644875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356323815673071-0.356339774533116)×R²
    abs(-0.27156254--0.27161047)×1.59588600453509e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.59588600453509e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.59588600453509e-05×40589641000000     		ar = 11840.3647475974m²