Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59868 / 59037
↖ ↑ ↗
← S 80.786157°
E148.864746°		 ← 97.80 m → S 80.786157°
E148.870239°		 →
↑
97.79 m
↓
↑
97.79 m
↓
S 80.787037°
E148.864746°		 ← 97.79 m →
9 564 m²		 S 80.787037°
E148.870239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913520812988281 y=0.900840759277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913520812988281 × 216)
    floor (0.913520812988281 × 65536)
    floor (59868.5)     		tx = 59868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900840759277344 × 216)
    floor (0.900840759277344 × 65536)
    floor (59037.5)     		ty = 59037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59868 / 59037 ti = "16/59868/59037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59868/59037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59868 ÷ 216
    59868 ÷ 65536     		x = 0.91351318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59037 ÷ 216
    59037 ÷ 65536     		y = 0.900833129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91351318359375 × 2 - 1) × π
    0.8270263671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59817996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900833129882812 × 2 - 1) × π
    -0.801666259765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.51850883223851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59817996} λ = 2.59817996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51850883223851))-π/2
    2×atan(0.080579675019938)-π/2
    2×0.0804059478010412-π/2
    0.160811895602082-1.57079632675     		φ = -1.40998443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59817996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.864746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40998443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.786157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59868 KachelY 59037 2.59817996 -1.40998443 148.864746 -80.786157
    Oben rechts KachelX + 1 59869 KachelY 59037 2.59827583 -1.40998443 148.870239 -80.786157
    Unten links KachelX 59868 KachelY + 1 59038 2.59817996 -1.40999978 148.864746 -80.787037
    Unten rechts KachelX + 1 59869 KachelY + 1 59038 2.59827583 -1.40999978 148.870239 -80.787037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40998443--1.40999978) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dl = 97.794849999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40998443--1.40999978) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dr = 97.794849999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59817996-2.59827583) × cos(-1.40998443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160119680683997 × 6371000     		do = 97.7991426980883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59817996-2.59827583) × cos(-1.40999978) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16010452871685 × 6371000     		du = 97.7898880618634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40998443)-sin(-1.40999978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160119680683997-0.16010452871685)×R²
    abs(2.59827583-2.59817996)×1.51519671471589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51519671471589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51519671471589e-05×40589641000000     		ar = 9563.79996260773m²