Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59868 / 35759
↖ ↑ ↗
← N 63.016352°
W 15.567627°		 ← 138.58 m → N 63.016352°
W 15.564880°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
N 63.015106°
W 15.567627°		 ← 138.59 m →
19 204 m²		 N 63.015106°
W 15.564880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456760406494141 y=0.272823333740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456760406494141 × 217)
    floor (0.456760406494141 × 131072)
    floor (59868.5)     		tx = 59868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272823333740234 × 217)
    floor (0.272823333740234 × 131072)
    floor (35759.5)     		ty = 35759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59868 / 35759 ti = "17/59868/35759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59868/35759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59868 ÷ 217
    59868 ÷ 131072     		x = 0.456756591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35759 ÷ 217
    35759 ÷ 131072     		y = 0.272819519042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456756591796875 × 2 - 1) × π
    -0.08648681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27170635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272819519042969 × 2 - 1) × π
    0.454360961914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.42741705998641
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27170635} λ = -0.27170635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42741705998641))-π/2
    2×atan(4.16791978984313)-π/2
    2×1.33531957543759-π/2
    2.67063915087519-1.57079632675     		φ = 1.09984282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27170635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.567627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09984282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.016352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59868 KachelY 35759 -0.27170635 1.09984282 -15.567627 63.016352
    Oben rechts KachelX + 1 59869 KachelY 35759 -0.27165841 1.09984282 -15.564880 63.016352
    Unten links KachelX 59868 KachelY + 1 35760 -0.27170635 1.09982107 -15.567627 63.015106
    Unten rechts KachelX + 1 59869 KachelY + 1 35760 -0.27165841 1.09982107 -15.564880 63.015106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09984282-1.09982107) × R
    2.17500000001536e-05 × 6371000     		dl = 138.569250000979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09984282-1.09982107) × R
    2.17500000001536e-05 × 6371000     		dr = 138.569250000979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27170635--0.27165841) × cos(1.09984282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453736195794684 × 6371000     		do = 138.582713365285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27170635--0.27165841) × cos(1.09982107) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453755577896508 × 6371000     		du = 138.588633158078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09984282)-sin(1.09982107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453736195794684-0.453755577896508)×R²
    abs(-0.27165841--0.27170635)×1.93821018245055e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93821018245055e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93821018245055e-05×40589641000000     		ar = 19203.7128054881m²