Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59868 / 30276
↖ ↑ ↗
← N 69.096020°
W 15.567627°		 ← 108.98 m → N 69.096020°
W 15.564880°		 →
↑
108.94 m
↓
↑
108.94 m
↓
N 69.095040°
W 15.567627°		 ← 108.98 m →
11 873 m²		 N 69.095040°
W 15.564880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59868 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456760406494141 y=0.230991363525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456760406494141 × 217)
    floor (0.456760406494141 × 131072)
    floor (59868.5)     		tx = 59868
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230991363525391 × 217)
    floor (0.230991363525391 × 131072)
    floor (30276.5)     		ty = 30276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59868 / 30276 ti = "17/59868/30276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59868/30276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59868 ÷ 217
    59868 ÷ 131072     		x = 0.456756591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30276 ÷ 217
    30276 ÷ 131072     		y = 0.230987548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456756591796875 × 2 - 1) × π
    -0.08648681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27170635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230987548828125 × 2 - 1) × π
    0.53802490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.69025508060318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27170635} λ = -0.27170635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69025508060318))-π/2
    2×atan(5.42086328586566)-π/2
    2×1.38837468852629-π/2
    2.77674937705258-1.57079632675     		φ = 1.20595305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27170635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.567627°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20595305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.096020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59868 KachelY 30276 -0.27170635 1.20595305 -15.567627 69.096020
    Oben rechts KachelX + 1 59869 KachelY 30276 -0.27165841 1.20595305 -15.564880 69.096020
    Unten links KachelX 59868 KachelY + 1 30277 -0.27170635 1.20593595 -15.567627 69.095040
    Unten rechts KachelX + 1 59869 KachelY + 1 30277 -0.27165841 1.20593595 -15.564880 69.095040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20595305-1.20593595) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dl = 108.94409999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20595305-1.20593595) × R
    1.70999999999921e-05 × 6371000     		dr = 108.94409999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27170635--0.27165841) × cos(1.20595305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356802891223974 × 6371000     		do = 108.97678708615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27170635--0.27165841) × cos(1.20593595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356818865644539 × 6371000     		du = 108.981666085373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20595305)-sin(1.20593595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356802891223974-0.356818865644539)×R²
    abs(-0.27165841--0.27170635)×1.59744205648349e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59744205648349e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59744205648349e-05×40589641000000     		ar = 11872.643759252m²