Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59867 / 59035
↖ ↑ ↗
← S 80.784398°
E148.859253°		 ← 97.82 m → S 80.784398°
E148.864746°		 →
↑
97.79 m
↓
↑
97.79 m
↓
S 80.785278°
E148.859253°		 ← 97.81 m →
9 566 m²		 S 80.785278°
E148.864746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59867 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913505554199219 y=0.900810241699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913505554199219 × 216)
    floor (0.913505554199219 × 65536)
    floor (59867.5)     		tx = 59867
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900810241699219 × 216)
    floor (0.900810241699219 × 65536)
    floor (59035.5)     		ty = 59035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59867 / 59035 ti = "16/59867/59035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59867/59035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59867 ÷ 216
    59867 ÷ 65536     		x = 0.913497924804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59035 ÷ 216
    59035 ÷ 65536     		y = 0.900802612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913497924804688 × 2 - 1) × π
    0.826995849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59808409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900802612304688 × 2 - 1) × π
    -0.801605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51831708464003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59808409} λ = 2.59808409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51831708464003))-π/2
    2×atan(0.0805951274605463)-π/2
    2×0.080421300535934-π/2
    0.160842601071868-1.57079632675     		φ = -1.40995373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59808409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.859253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40995373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.784398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59867 KachelY 59035 2.59808409 -1.40995373 148.859253 -80.784398
    Oben rechts KachelX + 1 59868 KachelY 59035 2.59817996 -1.40995373 148.864746 -80.784398
    Unten links KachelX 59867 KachelY + 1 59036 2.59808409 -1.40996908 148.859253 -80.785278
    Unten rechts KachelX + 1 59868 KachelY + 1 59036 2.59817996 -1.40996908 148.864746 -80.785278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40995373--1.40996908) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dl = 97.794849999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40995373--1.40996908) × R
    1.53499999999696e-05 × 6371000     		dr = 97.794849999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59808409-2.59817996) × cos(-1.40995373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160149984505104 × 6371000     		do = 97.8176519014049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59808409-2.59817996) × cos(-1.40996908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160134832613416 × 6371000     		du = 97.8083973112695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40995373)-sin(-1.40996908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160149984505104-0.160134832613416)×R²
    abs(2.59817996-2.59808409)×1.51518916879922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51518916879922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51518916879922e-05×40589641000000     		ar = 9565.61006965181m²