Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59866 / 59814
↖ ↑ ↗
← S 81.445041°
E148.853760°		 ← 90.87 m → S 81.445041°
E148.859253°		 →
↑
90.85 m
↓
↑
90.85 m
↓
S 81.445858°
E148.853760°		 ← 90.86 m →
8 255 m²		 S 81.445858°
E148.859253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913490295410156 y=0.912696838378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913490295410156 × 216)
    floor (0.913490295410156 × 65536)
    floor (59866.5)     		tx = 59866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912696838378906 × 216)
    floor (0.912696838378906 × 65536)
    floor (59814.5)     		ty = 59814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59866 / 59814 ti = "16/59866/59814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59866/59814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59866 ÷ 216
    59866 ÷ 65536     		x = 0.913482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59814 ÷ 216
    59814 ÷ 65536     		y = 0.912689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913482666015625 × 2 - 1) × π
    0.82696533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59798821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.82537841796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59300277424808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59798821} λ = 2.59798821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59300277424808))-π/2
    2×atan(0.0747951097174371)-π/2
    2×0.0746561003788426-π/2
    0.149312200757685-1.57079632675     		φ = -1.42148413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59798821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.853760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42148413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.445041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59866 KachelY 59814 2.59798821 -1.42148413 148.853760 -81.445041
    Oben rechts KachelX + 1 59867 KachelY 59814 2.59808409 -1.42148413 148.859253 -81.445041
    Unten links KachelX 59866 KachelY + 1 59815 2.59798821 -1.42149839 148.853760 -81.445858
    Unten rechts KachelX + 1 59867 KachelY + 1 59815 2.59808409 -1.42149839 148.859253 -81.445858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42148413--1.42149839) × R
    1.42599999999327e-05 × 6371000     		dl = 90.850459999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42148413--1.42149839) × R
    1.42599999999327e-05 × 6371000     		dr = 90.850459999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59798821-2.59808409) × cos(-1.42148413) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148758017263112 × 6371000     		do = 90.8690550069782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59798821-2.59808409) × cos(-1.42149839) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148743915910052 × 6371000     		du = 90.8604411745911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42148413)-sin(-1.42149839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148758017263112-0.148743915910052)×R²
    abs(2.59808409-2.59798821)×1.41013530605971e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.41013530605971e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.41013530605971e-05×40589641000000     		ar = 8255.10416220855m²