Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59866 / 59291
↖ ↑ ↗
← S 81.006902°
E148.853760°		 ← 95.49 m → S 81.006902°
E148.859253°		 →
↑
95.44 m
↓
↑
95.44 m
↓
S 81.007760°
E148.853760°		 ← 95.48 m →
9 112 m²		 S 81.007760°
E148.859253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59291 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913490295410156 y=0.904716491699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913490295410156 × 216)
    floor (0.913490295410156 × 65536)
    floor (59866.5)     		tx = 59866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904716491699219 × 216)
    floor (0.904716491699219 × 65536)
    floor (59291.5)     		ty = 59291
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59866 / 59291 ti = "16/59866/59291"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59866/59291.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59866 ÷ 216
    59866 ÷ 65536     		x = 0.913482666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59291 ÷ 216
    59291 ÷ 65536     		y = 0.904708862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913482666015625 × 2 - 1) × π
    0.82696533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59798821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904708862304688 × 2 - 1) × π
    -0.809417724609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5428607772455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59798821} λ = 2.59798821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5428607772455))-π/2
    2×atan(0.0786411030043326)-π/2
    2×0.0784795853008178-π/2
    0.156959170601636-1.57079632675     		φ = -1.41383716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59798821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.853760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41383716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.006902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59866 KachelY 59291 2.59798821 -1.41383716 148.853760 -81.006902
    Oben rechts KachelX + 1 59867 KachelY 59291 2.59808409 -1.41383716 148.859253 -81.006902
    Unten links KachelX 59866 KachelY + 1 59292 2.59798821 -1.41385214 148.853760 -81.007760
    Unten rechts KachelX + 1 59867 KachelY + 1 59292 2.59808409 -1.41385214 148.859253 -81.007760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41383716--1.41385214) × R
    1.49799999999978e-05 × 6371000     		dl = 95.4375799999858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41383716--1.41385214) × R
    1.49799999999978e-05 × 6371000     		dr = 95.4375799999858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59798821-2.59808409) × cos(-1.41383716) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156315481155776 × 6371000     		do = 95.4855430108552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59798821-2.59808409) × cos(-1.41385214) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156300685284705 × 6371000     		du = 95.4765049311135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41383716)-sin(-1.41385214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156315481155776-0.156300685284705)×R²
    abs(2.59808409-2.59798821)×1.47958710711715e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.47958710711715e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.47958710711715e-05×40589641000000     		ar = 9112.47786399086m²