Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59864 / 59498
↖ ↑ ↗
← S 81.182915°
E148.842773°		 ← 93.63 m → S 81.182915°
E148.848267°		 →
↑
93.65 m
↓
↑
93.65 m
↓
S 81.183757°
E148.842773°		 ← 93.62 m →
8 769 m²		 S 81.183757°
E148.848267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913459777832031 y=0.907875061035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913459777832031 × 216)
    floor (0.913459777832031 × 65536)
    floor (59864.5)     		tx = 59864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907875061035156 × 216)
    floor (0.907875061035156 × 65536)
    floor (59498.5)     		ty = 59498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59864 / 59498 ti = "16/59864/59498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59864/59498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59864 ÷ 216
    59864 ÷ 65536     		x = 0.9134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59498 ÷ 216
    59498 ÷ 65536     		y = 0.907867431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9134521484375 × 2 - 1) × π
    0.826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59779646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.81573486328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5627066536882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59779646} λ = 2.59779646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5627066536882))-π/2
    2×atan(0.077095786193425)-π/2
    2×0.076943582334-π/2
    0.153887164668-1.57079632675     		φ = -1.41690916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59779646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41690916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.182915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59864 KachelY 59498 2.59779646 -1.41690916 148.842773 -81.182915
    Oben rechts KachelX + 1 59865 KachelY 59498 2.59789234 -1.41690916 148.848267 -81.182915
    Unten links KachelX 59864 KachelY + 1 59499 2.59779646 -1.41692386 148.842773 -81.183757
    Unten rechts KachelX + 1 59865 KachelY + 1 59499 2.59789234 -1.41692386 148.848267 -81.183757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41690916--1.41692386) × R
    1.47000000001452e-05 × 6371000     		dl = 93.6537000009248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41690916--1.41692386) × R
    1.47000000001452e-05 × 6371000     		dr = 93.6537000009248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59779646-2.59789234) × cos(-1.41690916) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153280511887634 × 6371000     		do = 93.6316275416576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59779646-2.59789234) × cos(-1.41692386) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153265985585115 × 6371000     		du = 93.6227541282648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41690916)-sin(-1.41692386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153280511887634-0.153265985585115)×R²
    abs(2.59789234-2.59779646)×1.45263025192743e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.45263025192743e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.45263025192743e-05×40589641000000     		ar = 8768.53284259701m²