Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59864 / 59496
↖ ↑ ↗
← S 81.181231°
E148.842773°		 ← 93.65 m → S 81.181231°
E148.848267°		 →
↑
93.65 m
↓
↑
93.65 m
↓
S 81.182073°
E148.842773°		 ← 93.64 m →
8 770 m²		 S 81.182073°
E148.848267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913459777832031 y=0.907844543457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913459777832031 × 216)
    floor (0.913459777832031 × 65536)
    floor (59864.5)     		tx = 59864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907844543457031 × 216)
    floor (0.907844543457031 × 65536)
    floor (59496.5)     		ty = 59496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59864 / 59496 ti = "16/59864/59496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59864/59496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59864 ÷ 216
    59864 ÷ 65536     		x = 0.9134521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59496 ÷ 216
    59496 ÷ 65536     		y = 0.9078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9134521484375 × 2 - 1) × π
    0.826904296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59779646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.815673828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56251490608972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59779646} λ = 2.59779646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56251490608972))-π/2
    2×atan(0.077110570542667)-π/2
    2×0.0769582793111804-π/2
    0.153916558622361-1.57079632675     		φ = -1.41687977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59779646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.842773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41687977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.181231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59864 KachelY 59496 2.59779646 -1.41687977 148.842773 -81.181231
    Oben rechts KachelX + 1 59865 KachelY 59496 2.59789234 -1.41687977 148.848267 -81.181231
    Unten links KachelX 59864 KachelY + 1 59497 2.59779646 -1.41689447 148.842773 -81.182073
    Unten rechts KachelX + 1 59865 KachelY + 1 59497 2.59789234 -1.41689447 148.848267 -81.182073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41687977--1.41689447) × R
    1.46999999999231e-05 × 6371000     		dl = 93.6536999995101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41687977--1.41689447) × R
    1.46999999999231e-05 × 6371000     		dr = 93.6536999995101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59779646-2.59789234) × cos(-1.41687977) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.15330955451152 × 6371000     		do = 93.6493682714413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59779646-2.59789234) × cos(-1.41689447) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153295028275226 × 6371000     		du = 93.6404948985025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41687977)-sin(-1.41689447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15330955451152-0.153295028275226)×R²
    abs(2.59789234-2.59779646)×1.45262362936938e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.45262362936938e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.45262362936938e-05×40589641000000     		ar = 8770.19432901071m²