Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59862 / 35766
↖ ↑ ↗
← N 63.007627°
W 15.584107°		 ← 138.62 m → N 63.007627°
W 15.581360°		 →
↑
138.63 m
↓
↑
138.63 m
↓
N 63.006381°
W 15.584107°		 ← 138.63 m →
19 218 m²		 N 63.006381°
W 15.581360°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59862 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456714630126953 y=0.272876739501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456714630126953 × 217)
    floor (0.456714630126953 × 131072)
    floor (59862.5)     		tx = 59862
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272876739501953 × 217)
    floor (0.272876739501953 × 131072)
    floor (35766.5)     		ty = 35766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59862 / 35766 ti = "17/59862/35766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59862/35766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59862 ÷ 217
    59862 ÷ 131072     		x = 0.456710815429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35766 ÷ 217
    35766 ÷ 131072     		y = 0.272872924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456710815429688 × 2 - 1) × π
    -0.086578369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27199397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272872924804688 × 2 - 1) × π
    0.454254150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.42708150168907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27199397} λ = -0.27199397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42708150168907))-π/2
    2×atan(4.16652144440132)-π/2
    2×1.33524343658258-π/2
    2.67048687316517-1.57079632675     		φ = 1.09969055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27199397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.584107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09969055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.007627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59862 KachelY 35766 -0.27199397 1.09969055 -15.584107 63.007627
    Oben rechts KachelX + 1 59863 KachelY 35766 -0.27194603 1.09969055 -15.581360 63.007627
    Unten links KachelX 59862 KachelY + 1 35767 -0.27199397 1.09966879 -15.584107 63.006381
    Unten rechts KachelX + 1 59863 KachelY + 1 35767 -0.27194603 1.09966879 -15.581360 63.006381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09969055-1.09966879) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dl = 138.632960000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09969055-1.09966879) × R
    2.17600000000928e-05 × 6371000     		dr = 138.632960000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27199397--0.27194603) × cos(1.09969055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453871883820723 × 6371000     		do = 138.624155981047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27199397--0.27194603) × cos(1.09966879) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453891273330145 × 6371000     		du = 138.630078036311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09969055)-sin(1.09966879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453871883820723-0.453891273330145)×R²
    abs(-0.27194603--0.27199397)×1.93895094220409e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93895094220409e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93895094220409e-05×40589641000000     		ar = 19218.2875679641m²