Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59861 / 59567
↖ ↑ ↗
← S 81.240823°
E148.826294°		 ← 93.02 m → S 81.240823°
E148.831787°		 →
↑
93.02 m
↓
↑
93.02 m
↓
S 81.241660°
E148.826294°		 ← 93.01 m →
8 652 m²		 S 81.241660°
E148.831787°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913414001464844 y=0.908927917480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913414001464844 × 216)
    floor (0.913414001464844 × 65536)
    floor (59861.5)     		tx = 59861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908927917480469 × 216)
    floor (0.908927917480469 × 65536)
    floor (59567.5)     		ty = 59567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59861 / 59567 ti = "16/59861/59567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59861/59567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59861 ÷ 216
    59861 ÷ 65536     		x = 0.913406372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59567 ÷ 216
    59567 ÷ 65536     		y = 0.908920288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913406372070312 × 2 - 1) × π
    0.826812744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59750884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908920288085938 × 2 - 1) × π
    -0.817840576171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56932194583577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59750884} λ = 2.59750884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56932194583577))-π/2
    2×atan(0.0765874582670686)-π/2
    2×0.0764382382903499-π/2
    0.1528764765807-1.57079632675     		φ = -1.41791985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59750884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.826294°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41791985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.240823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59861 KachelY 59567 2.59750884 -1.41791985 148.826294 -81.240823
    Oben rechts KachelX + 1 59862 KachelY 59567 2.59760472 -1.41791985 148.831787 -81.240823
    Unten links KachelX 59861 KachelY + 1 59568 2.59750884 -1.41793445 148.826294 -81.241660
    Unten rechts KachelX + 1 59862 KachelY + 1 59568 2.59760472 -1.41793445 148.831787 -81.241660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41791985--1.41793445) × R
    1.45999999998647e-05 × 6371000     		dl = 93.0165999991381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41791985--1.41793445) × R
    1.45999999998647e-05 × 6371000     		dr = 93.0165999991381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59750884-2.59760472) × cos(-1.41791985) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152281687378571 × 6371000     		do = 93.0214941120367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59750884-2.59760472) × cos(-1.41793445) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.152267257640206 × 6371000     		du = 93.0126796850001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41791985)-sin(-1.41793445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152281687378571-0.152267257640206)×R²
    abs(2.59760472-2.59750884)×1.44297383655734e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.44297383655734e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.44297383655734e-05×40589641000000     		ar = 8652.13316502386m²