Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59860 / 59028
↖ ↑ ↗
← S 80.778238°
E148.820801°		 ← 97.88 m → S 80.778238°
E148.826294°		 →
↑
97.86 m
↓
↑
97.86 m
↓
S 80.779118°
E148.820801°		 ← 97.87 m →
9 578 m²		 S 80.779118°
E148.826294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913398742675781 y=0.900703430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913398742675781 × 216)
    floor (0.913398742675781 × 65536)
    floor (59860.5)     		tx = 59860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900703430175781 × 216)
    floor (0.900703430175781 × 65536)
    floor (59028.5)     		ty = 59028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59860 / 59028 ti = "16/59860/59028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59860/59028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59860 ÷ 216
    59860 ÷ 65536     		x = 0.91339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59028 ÷ 216
    59028 ÷ 65536     		y = 0.90069580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91339111328125 × 2 - 1) × π
    0.8267822265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59741297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90069580078125 × 2 - 1) × π
    -0.8013916015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.51764596804535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59741297} λ = 2.59741297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51764596804535))-π/2
    2×atan(0.0806492343420177)-π/2
    2×0.0804750579973312-π/2
    0.160950115994662-1.57079632675     		φ = -1.40984621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59741297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.820801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40984621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.778238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59860 KachelY 59028 2.59741297 -1.40984621 148.820801 -80.778238
    Oben rechts KachelX + 1 59861 KachelY 59028 2.59750884 -1.40984621 148.826294 -80.778238
    Unten links KachelX 59860 KachelY + 1 59029 2.59741297 -1.40986157 148.820801 -80.779118
    Unten rechts KachelX + 1 59861 KachelY + 1 59029 2.59750884 -1.40986157 148.826294 -80.779118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40984621--1.40986157) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dl = 97.8585599994188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40984621--1.40986157) × R
    1.53599999999088e-05 × 6371000     		dr = 97.8585599994188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59741297-2.59750884) × cos(-1.40984621) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.160256115785425 × 6371000     		do = 97.8824755894394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59741297-2.59750884) × cos(-1.40986157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16024095428735 × 6371000     		du = 97.8732151318401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40984621)-sin(-1.40986157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160256115785425-0.16024095428735)×R²
    abs(2.59750884-2.59741297)×1.51614980754555e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51614980754555e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51614980754555e-05×40589641000000     		ar = 9578.18500288479m²