Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59859 / 59141
↖ ↑ ↗
← S 80.877183°
E148.815308°		 ← 96.84 m → S 80.877183°
E148.820801°		 →
↑
96.84 m
↓
↑
96.84 m
↓
S 80.878054°
E148.815308°		 ← 96.83 m →
9 378 m²		 S 80.878054°
E148.820801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59859 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.913383483886719 y=0.902427673339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.913383483886719 × 216)
    floor (0.913383483886719 × 65536)
    floor (59859.5)     		tx = 59859
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902427673339844 × 216)
    floor (0.902427673339844 × 65536)
    floor (59141.5)     		ty = 59141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59859 / 59141 ti = "16/59859/59141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59859/59141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59859 ÷ 216
    59859 ÷ 65536     		x = 0.913375854492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59141 ÷ 216
    59141 ÷ 65536     		y = 0.902420043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.913375854492188 × 2 - 1) × π
    0.826751708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59731710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902420043945312 × 2 - 1) × π
    -0.804840087890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52847970735948
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59731710} λ = 2.59731710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52847970735948))-π/2
    2×atan(0.0797802174123958)-π/2
    2×0.0796115969761946-π/2
    0.159223193952389-1.57079632675     		φ = -1.41157313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59731710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.815308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41157313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.877183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59859 KachelY 59141 2.59731710 -1.41157313 148.815308 -80.877183
    Oben rechts KachelX + 1 59860 KachelY 59141 2.59741297 -1.41157313 148.820801 -80.877183
    Unten links KachelX 59859 KachelY + 1 59142 2.59731710 -1.41158833 148.815308 -80.878054
    Unten rechts KachelX + 1 59860 KachelY + 1 59142 2.59741297 -1.41158833 148.820801 -80.878054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41157313--1.41158833) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dl = 96.8391999999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41157313--1.41158833) × R
    1.5199999999993e-05 × 6371000     		dr = 96.8391999999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59731710-2.59741297) × cos(-1.41157313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15855127730533 × 6371000     		do = 96.8411810959718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59731710-2.59741297) × cos(-1.41158833) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.1585362695557 × 6371000     		du = 96.8320145460425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41157313)-sin(-1.41158833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15855127730533-0.1585362695557)×R²
    abs(2.59741297-2.59731710)×1.50077496301193e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50077496301193e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50077496301193e-05×40589641000000     		ar = 9377.57866375786m²